\chapter{Simulation}

  Im Folgenden soll die Implementation der Monte-Carlo-Simulation nach dem vorangegangen Modell diskutiert werden.
  Ziel der Simulation ist die Verifizierung des Modells anhand der experimentellen Ergebnisse die in Abbildung \ref{img:xtem_img} vorliegen.
  Die genauen Daten sind:
  \begin{itemize}
    \item Energie: $E=180 keV$
    \item Dosis: $D = 4,3 \times 10^{17} cm^{-2}$
    \item Temperatur: $T = 150 ^{\circ} \mathrm{C}$
    \item Imlantationswinkel: $\alpha = 7 ^{\circ}$
    \item Ion/Target Kombination: $C^+ \rightarrow Si (100)$
  \end{itemize}
  Anzumerken ist, dass es zwei Versionen der Simulation gibt, die unterschiedliche Tiefenbereiche abdecken.
  Diese unterscheiden sich in einigen Punkten, was den Simualtionsalgorithmus betrifft.
  Darauf wird in einem gesonderten Abschnitt genauer eingegangen.
  Der Simulationsalgorithmus wird erkl"art und die dazu ben"otigten Annahmen und Informationen aus {\em TRIM} Ergebnissen werden besprochen.
  Das Kapitel schliesst mit dem Test der verwendeten Zufallszahlen und dem Ablaufschema der Simulation.

  \section{Annahmen der Simulation}

    \subsection{Unterteilung des Targets}
    \label{subsection:unterteilung}

    Wie in Abbildung \ref{img:sim_gitter} zu sehen ist, wird das Target in W"urfel mit Seitenl"ange $a = 3 nm$ zerlegt.
    \begin{figure}[h]
    \includegraphics[width=12cm]{gitter_oZ.eps}
    \caption{Unterteilung des Targets in W"urfel mit $3 nm$ Kantenl"ange. Jedes Volumen ist entwerder amorph (rot) oder kristallin (blau) und protokolliert die lokale Kohelnstoffkonzentration}
    \label{img:sim_gitter}
    \end{figure}
    Die Anzahl der W"urfel in $x$, $y$ und $z$ Richtung sind frei einstellbar.
    Ein solches Volumen kann durch den Ortsvektor $\vec{r}(k,l,m)$, wobei $k$, $l$ und $m$ ganze Zahlen sind, addressiert werden.
    Jeder W"urfel hat entweder den Zustand amorph (rot) oder ist kristallin (blau).
    Die lokale Anzahl der implantierten Kohlenstoffatome wird ebenfalls protokolliert.

    \subsection{Amorphisierung und Rekristallisation}

    Nach dem in Kapitel \ref{chapter:modell} vorgestellten Modell gibt es drei zur Amorphisierung beitragende Mechanismen.
    Eine lokale Wahrscheinlichkeit f"ur die Aamorphisierung $p_{c \rightarrow a}$ eines beliebigen kristallinen Volumens $\vec{r}$ setzt sich aus den drei Einzelwahrscheinlichkeiten f"ur die
    \begin{itemize}
      \item \textcolor[rgb]{0,1,1}{ballistische}
      \item \textcolor{red}{kohlenstoffinduzierte}
      \item \textcolor[rgb]{0.5,0.25,0.12}{spannungsinduzierte}
    \end{itemize}
    Amorphisierung zusammen.
    Sie wird wie folgt berechnet:
    \begin{equation}
    p_{c \rightarrow a}(\vec r) = \textcolor[rgb]{0,1,1}{p_{b}} + \textcolor{red}{p_{c} \, c_{Kohlenstoff}(\vec r)} + \textcolor[rgb]{0.5,0.25,0.12}{\sum_{amorphe \, Nachbarn} \frac{p_{s} \, c_{Kohlenstoff}(\vec{r'})}{(\vec r - \vec{r'})^2}}
    \label{eq:p_ca_local}
    \end{equation}

    Die ballistische Amorphisierung besteht nur aus der Konstanten $p_b$.
    Sie ist unabh"angig vom Ort und somit ein konstanter Beitrag f"ur jedes Volumen.
    Sie hat keine Einheit.
    Wieso dieser Beitrag in dieser Art sinnvoll ist, wird in Abschnitt \ref{subsection:parse_trim_coll} gekl"art.

    Die Wahrscheinlichkeit f"ur die kohlenstoffinduzierte Amorphisierung wird proportional zur lokalen Kohlenstoffkonzentration $c_{Kohlenstoff}$ angenommen.
    $p_c$ ist die dazugeh"orige Proportionalit"atskosntante und hat demnach die Einheit $[p_c] = m^3$.

    Der Beitrag der Druckspannungen setzt sich aus den einzelnen Beitr"agen amorpher Gebiete in der selben Ebene, da nur diese Spannungen aus"uben, zusammen.
    Dabei ist der Wahrscheinlichkeitsbeitrag eines amorphen Volumens $\vec{r'}$ auf das Volumen $\vec{r}$ wieder proprtional zur lokalen Kohlenstoffkonzentration in $\vec{r'}$.
    Dies ist offensichtlich, denn je mehr Kohlenstoff in dem Volumen, das auf Grund der Dichtereduktion in dem amoprhen Gebiet vorhanden ist, desto groesser die ausgehende Spannung auf die Umgebung.
    Gleichzeitig ist der Beitrag indirekt proportional zum Abstandsquadrat $(\vec r - \vec{r'})^2$, da der Druck (Druck = Kraft pro Fl"ache) quadratisch mit der Entfernung abf"allt.
    $p_s$ ist wieder Proportionalit"atskonstante und hat somit die Einheit $[p_s] = m^5$.

    Die Rekristallisationswahrscheinlichkeit amorpher Gebiete $p_{a \rightarrow c}$ sollte sich genau entgegensetzt zu $p_{c \rightarrow a}$ verhalten und wird deshalb als
    \begin{equation}
    p_{a \rightarrow c}(\vec r) = 1 - p_{c \rightarrow a}(\vec r)
    \label{eq:p_ac_local}
    \end{equation}
    angenommen.
    Jedoch muss die direkte Nachbarschaft des Volumens ber"ucksichtigt werden.
    F"ur die Rekristallisation ist Strukturinformation krsitalliner Nachbarschaft notwendig.
    Mit einer zunehmenden Anzahl von amorphen Nachbarn sollte die Rekristallisationswahrscheinlichkeit also sukzessive abnehmen und ganz verschwinden wenn kein einziger kristalliner Nachabr vorhanden ist.
    Mit der im Abschnitt \ref{subsection:unterteilung} beschriebenen Unterteilung hat ein Volumen genau sechs Angriffsfl"achen die als Rekristallisationsfront dienen k"onnen.
    Damit kann man \eqref{eq:p_ac_local} neu schreiben und man erh"alt:
    \begin{equation}
    p_{a \rightarrow c}(\vec r) = (1 - p_{c \rightarrow a}(\vec r)) \Big(1 - \frac{\sum_{direkte \, Nachbarn} \delta (\vec{r'})}{6} \Big) \, \textrm{,}
    \label{eq:p_ac_genau}
    \end{equation}
    mit
    \begin{equation}
    \delta (\vec r) = \left\{ 
    \begin{array}{ll}
      1 & \textrm{wenn Gebiet bei $\vec r$ amorph} \\
      0 & \textrm{sonst} \\
    \end{array}
    \right.
    \label{eq:dedltafunc}
    \end{equation}

    Die Proportionalit"atskonstanten $p_b$, $p_c$ und $p_s$ sind frei w"ahlbare Simulationsparameter.
    Es gilt somit einen Satz von Parametern zu finden, der die gr"o"stm"oglichste "Ubereinstimmung von Simulationsergebiss und dem experimentell gefundenen Ergebniss aus Abbildung \ref{img:xtem_img} zeigt.
    Durch Variation der gefundenen Parameter k"onnen dann die unterschiedlichen Einfl"usse der verschiedenen Amorphisierungsmechanismen untersucht und der Selbstorganisationsprozess verstanden werden.
    
    \subsection{Diffusion}

    Weiterhin sieht das Modell die M"oglichkeit der Diffusion von Kohelnstoff aus kristallinen in umliegende amorphe Volumina vor.
    Die Diffusion wird durch zwei weitere Parameter beschrieben.
    In Zeitintervallen $T_{Diff}$ wird ein Anteil $d_r$ des Kohlenstoffs eines kristallinen Volumens in das benachbarte amorphe Volumen transferiert.
    Da von einem konstanten Strahlstrom ausgegangen wird, kann die Zeit $T_{Diff}$ auf eine Anzahl von implantierten Ionen $d_v$ abgebildet werden.
    Die Diffusion des Kohlenstoffs von amorphe in kristalline Gebiete wird also durch die zwei Parameter $d_r$ und $d_v$ gesteuert.
    Die Parameter sind ebenfalls frei w"ahlbar.
    Diffusion innerhalb kristalliner Gebiete sowie Diffusion innerhalb amorpher Gebiete wird ausgeschlossen.

    \subsection{Sputtern}

    Es wird von einer, "uber der Oberfl"ache gleichm"assig verteilten und w"ahrend des Implantationsvorgangs konstanten Sputterrate ausgegangen.
    Auf Grund der Unterteilung des Targets in W"urfel mit Seitenl"ange $3 nm$ muss diese Sputterrate in der Dosis, welche $3 nm$ sputtert, angegeben werden.
    Jedesmal, nachdem das Programm diese Dosis durchlaufen hat, wird die Sputter-Routine aufgerufen, welche die oberste Targetebene abtr"agt.

  \section{Auswertung von {\em TRIM} Ergebnissen}

  Da bereits Programme wie {/em TRIM} die Wechelswirkung der Ionen mit dem Target simulieren und somit ein geeignetes Bremskraft- und Implantationsprofil sowie eine genaue Buchf"uhrung "uber die Sto"skaskaden bereitstellen, wird auf diese Schritte in der Simulation aus Zeitgr"unden verzichtet.
    Stattdessen werden die von {/em TRIM} erzeugten Statistiken verwendet.
    Durch die Abbildung von Zufallszahlen auf die so erhaltenen Verteilungen, k"onnen die eigentlichen physikalischen Prozesse sehr schnell und einfach behandelt werden.
    Im Folgenden wird auf die Ermittlung einiger, f"ur diese Simulation wichtigen, Statistiken eingegangen.

    \subsection{Implantationsprofil und nukleare Bremskraft}
   
    Abbildung /ref{img:bk_impl_p} zeigt von {/em TRIM} ermittelte nukleare und elektronische Bremskraft

    \subsection{Durchschnittliche Anzahl der St"o"se der Ionen und Energieabgabe}
    \label{subsection:parse_trim_coll}

  \section{Simulationsalgorithmus}

    \subsection{Amorphisierung und Rekristallisation}

    \subsection{Einbau des implantierten Kohlenstoffs ins Target}

    \subsection{Diffusion und Sputtern}

  \section{Simulierte Tiefenbereiche}

  \section{Test der Zufallszahlen}

  \section{Ablaufschema}

