solid_state_physics/tutorial/1_01s.tex

   1 \pdfoutput=0
   2 \documentclass[a4paper,11pt]{article}
   3 \usepackage[activate]{pdfcprot}
   4 \usepackage{verbatim}
   5 \usepackage{a4}
   6 \usepackage{a4wide}
   7 \usepackage[german]{babel}
   8 \usepackage[latin1]{inputenc}
   9 \usepackage[T1]{fontenc}
  10 \usepackage{amsmath}
  11 \usepackage{ae}
  12 \usepackage{aecompl}
  13 \usepackage[dvips]{graphicx}
  14 \graphicspath{{./img/}}
  15 \usepackage{color}
  16 \usepackage{pstricks}
  17 \usepackage{pst-node}
  18 \usepackage{rotating}
  19
  20 \setlength{\headheight}{0mm} \setlength{\headsep}{0mm}
  21 \setlength{\topskip}{-10mm} \setlength{\textwidth}{17cm}
  22 \setlength{\oddsidemargin}{-10mm}
  23 \setlength{\evensidemargin}{-10mm} \setlength{\topmargin}{-1cm}
  24 \setlength{\textheight}{26cm} \setlength{\headsep}{0cm}
  25
  26 \renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}
  27
  28 \begin{document}
  29
  30 % header
  31 \begin{center}
  32  {\LARGE {\bf Materials Physics I}\\}
  33  \vspace{8pt}
  34  Prof. B. Stritzker\\
  35  WS 2007/08\\
  36  \vspace{8pt}
  37  {\Large\bf Tutorial 1 - proposed solutions}
  38 \end{center}
  39
  40 \section{Free electron in a box}
  41 \begin{enumerate}
  42  \item
  43
  44  \begin{itemize}
  45   \item Schr"odinger equation:\\
  46         \[
  47         - \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \Psi({\bf r}) + V({\bf r}) \Psi({\bf r})
  48         = E \Psi({\bf r}) \textrm{ , }
  49         V({\bf r}) = 0 \textrm{ for } {\bf r} \in [0,L]
  50         \]
  51   \item Boundary conditions: $\Psi({\bf r}) = \Psi(x,y,z)$\\
  52         \[
  53         \Psi(0,y,z) = \Psi(L,y,z) = 0 \qquad
  54         \Psi(x,0,z) = \Psi(x,L,z) = 0 \qquad
  55         \Psi(x,y,0) = \Psi(x,y,L) = 0
  56         \]
  57  \end{itemize}
  58
  59
  60  \item
  61   \begin{itemize}
  62    \item Product ansatz: $\Psi({\bf r})=F_x(x)F_y(y)F_z(z)$, with\\
  63          $F_x(x)=0$ for $x=0,L$\\
  64          $F_y(y)=0$ for $y=0,L$\\
  65          $F_z(z)=0$ for $z=0,L$.
  66    \item Schr"odinger equation:\\
  67          Use: $\nabla^2=\frac{\partial^2}{\partial x^2} +
  68                         \frac{\partial^2}{\partial y^2} +
  69                         \frac{\partial^2}{\partial z^2} \Rightarrow$\\
  70          \[
  71          - \frac{\hbar^2}{2m} \Big[
  72          F_y(y) F_z(z) \frac{d^2}{dx^2} F_x(x) +
  73          F_x(x) F_z(z) \frac{d^2}{dy^2} F_y(y) +
  74          F_x(x) F_y(y) \frac{d^2}{dz^2} F_z(z)
  75          \Big] =
  76          E F_x(x) F_y(y) F_z(z)
  77          \]
  78    \item Schr"odinger equation fullfilled if:
  79          \[
  80          - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} F_x(x) = E_x F_x(x), \quad
  81          - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dy^2} F_y(y) = E_y F_y(y),\quad
  82          - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dz^2} F_z(z) = E_z F_z(z).
  83          \]
  84          \[
  85          \Rightarrow \Big[E_x + E_y + E_z\Big] F_x(x) F_y(y) F_z(z) =
  86                      E F_x(x)F_y(y)F_z(z) \textrm{, } \quad E = E_x + E_y + E_z
  87          \]
  88          Three eigenvalue problems of the same character.
  89          Sufficient to examine only one!
  90    \item Solution of the Schr"odinger equation:\\
  91          \begin{itemize}
  92           \item Ansatz: $F_x = A_x \exp(ik_xx) + B_x \exp(-ik_xx)$
  93           \item Boundary conditions:\\
  94                 $F_x(0)=0 \Rightarrow B_x=-A_x$, \quad
  95                 let ${A}_x = \frac{1}{2i}\tilde{A}_x$
  96                 $\Rightarrow$ $F_x(x) = \tilde{A}_x \sin(k_xx)$\\
  97                 $F_x(L)=0 \Rightarrow k_x L = n_x \pi$ or rather
  98                 $k_x=n_x \frac{\pi}{L}$, \quad $n_x=0,\pm1,\pm2,\ldots$
  99           \item Forbidden values for $n_x$:\\
 100                 $n_x \ne 0$: otherwise wave function zero for all $x$\\
 101                 $n_x > 0$: wave functions for $+n_x$ and $-n_x$
 102                 not linearly independent (same quantum sate)
 103          \end{itemize}
 104          \[
 105          \Rightarrow
 106          \Psi_{n_x n_y n_z} = A \sin(\frac{n_x \pi}{L}x)
 107                                 \sin(\frac{n_y \pi}{L}y)
 108                                 \sin(\frac{n_z \pi}{L}z),
 109          \quad A=\tilde{A}_x\tilde{A}_y\tilde{A}_z
 110          \]
 111    \item Energy\\
 112          \[
 113          E_{n_x n_y n_z} = \frac{\hbar^2 \pi^2}{2m L^2}(n_x^2+n_y^2+n_z^2)
 114          \]
 115   \end{itemize}
 116
 117  \item Ground-state:
 118        \[
 119        \Psi_{111} = A \sin(\frac{\pi}{L}x) \sin(\frac{\pi}{L}x)
 120                       \sin(\frac{\pi}{L}x) \qquad
 121        E_{111} = \frac{\hbar^2 \pi^2}{2m L^2} (1+1+1)
 122                 = \frac{3 \hbar^2 \pi^2}{2m L^2}
 123        \]
 124  \item $n_x,n_y,n_z=1,2,3\ldots$\\
 125        Allowed $k_{x,y,z}$ values located in positive octant only.
 126        \begin{flushleft}
 127        \includegraphics[width=10cm]{feg_kvals.eps}
 128        \end{flushleft}
 129
 130 \end{enumerate}
 131
 132 \section{Reciprocal lattice}
 133
 134 Convention:
 135 \begin{itemize}
 136  \item basis of unit cell in real space: $a_1,a_2,a_3$
 137  \item basis of unit cell in reciprocal space: $b_1,b_2,b_3$
 138 \end{itemize}
 139 Prove:
 140 \[
 141 V_{real}=a_1(a_2 \times a_3)
 142 \]\[
 143 b_1=\frac{2\pi(a_2 \times a_3)}{a_1(a_2 \times a_3)}
 144 \]\[
 145 b_2=\frac{2\pi(a_3 \times a_1)}{a_1(a_2 \times a_3)}
 146 \]\[
 147 b_3=\frac{2\pi(a_1 \times a_2)}{a_1(a_2 \times a_3)}
 148 \]
 149 \[
 150 V_{rec}=b_1 ( b_2 \times b_3)=
 151        \frac{(2\pi)^3}{(a_1(a_2 \times a_3))^3} (a_2 \times a_3) [
 152        (a_3 \times a_1) \times (a_1 \times a_2) ]
 153 \]
 154 \[
 155 \textrm{Hint 1: }
 156 (a_3 \times a_1) \times (a_1 \times a_2) =
 157 a_1((a_3 \times a_1)a_2) - \underbrace{a_2((a_3 \times a_1)a_1)}_{=0}
 158 \]
 159 \[
 160 \Rightarrow V_{rec}= \frac{(2\pi)^3}{(a_1(a_2 \times a_3))^3}
 161 (a_2 \times a_3) (a_1((a_3 \times a_1) a_2))
 162 \]
 163 \[
 164 \textrm{Hint 2: }
 165 (a_2 \times a_3) (a_1((a_3 \times a_1) a_2)) =
 166 (a_2 \times a_3) (a_1((a_2 \times a_3) a_1)) =
 167 (a_1 (a_2 \times a_3))^2
 168 \]
 169 \[
 170 \Rightarrow V_{rec}=\frac{(2\pi)^3}{a_1(a_2 \times a_3)}=
 171 \frac{(2\pi)^3}{V_{real}}
 172 \]
 173
 174 \end{document}