2 \label{chapter:simulation}
4 Im Folgenden soll die Implementation der Monte-Carlo-Simulation nach dem vorangegangen Modell diskutiert werden.
5 Die Simulation tr"agt den Namen \linebreak[4] {\em NLSOP}, was f"ur die Schlagw"orter {\bf N}ano, {\bf L}amellar und {\bf S}elbst{\bf O}ragnisations-{\bf P}rozess steht.
6 Ziel der Simulation ist die Validierung des Modells anhand der experimentellen Ergebnisse, wie sie in Abbildung \ref{img:xtem_img} vorliegen.
8 Es wurden zwei Versionen der Simulation erstellt, die unterschiedliche Tiefenbereiche abdecken.
9 Die erste Version beschreibt den Bereich von der Oberfl"ache des Targets bis zum Beginn der durchgehenden amorphen $SiC_x$-Schicht, also den Tiefenbereich von $0$ bis $300 nm$.
10 Nachdem eine Beschreibung der Bildung lamellarer amorpher Ausscheidungen mit dieser Version sehr gut funktioniert hat, wurde eine zweite Version entwickelt, die den gesamten Implantationsbereich betrachtet.
11 Auf weitere Unterschiede in den zwei Versionen wird in einem gesonderten Abschnitt genauer eingegangen.
13 Die Simulation kann grob in drei Abschnitte unterteilt werden.
14 Im ersten Schritt werden die Kollisionen eines Ions im Target und die daraus resultierende Amorphisierung beziehungsweise Rekristallisation eines Gebietes simuliert.
15 Nachdem das Ion seine Energie durch St"o"se im Target abgegeben hat kommt es zur Ruhe.
16 Der Einbau des Kohlenstoffs im Target wird im zweiten Schritt ausgef"uhrt.
17 Als letztes wird die Diffusion von Kohlenstoff von kristallinen in amorphe Gebiete und der Sputtervorgang realisiert.
19 Im Folgenden werden der Simulationsalgorithmus und die dazu ben"otigten Annahmen besprochen.
20 Ein weiterer Abschnitt besch"aftigt sich mit der Extraktion von, f"ur die Simulation notwendigen Informationen aus {\em TRIM}-Ergebnissen.
21 Das Kapitel schlie"st mit dem Test der verwendeten Zufallszahlen.
23 \section{Annahmen der Simulation}
25 \subsection{Unterteilung des Targets}
26 \label{subsection:unterteilung}
28 Wie in Abbildung \ref{img:sim_gitter} zu sehen ist, wird das Target in W"urfel mit der Seitenl"ange $a = 3 nm$ zerlegt.
30 \includegraphics[width=12cm]{gitter_oZ.eps}
31 \caption{Unterteilung des Targets in W"urfel mit $3 nm$ Kantenl"ange. Jedes Volumen ist entwerder amorph (rot) oder kristallin (blau) und protokolliert die lokale Kohlenstoffkonzentration}
32 \label{img:sim_gitter}
34 Die Anzahl der W"urfel in $x$, $y$ und $z$ Richtung ist frei einstellbar.
35 Ein solches Volumen kann durch den Ortsvektor $\vec{r}(k,l,m)$, wobei $k$, $l$ und $m$ ganze Zahlen sind, addressiert werden.
36 Jeder W"urfel hat entweder den Zustand amorph (rot), oder ist kristallin (blau).
37 Die lokale Anzahl der implantierten Kohlenstoffatome wird ebenfalls protokolliert.
39 Die Ausdehnung des Targets in $x,y$-Richtung ist im Gegensatz zur Tiefe sehr gro"s und kann als unendlich ausgedehnt angenommen werden.
40 Um die Anzahl der W"urfel in diese Richtungen in der Simulation aus Gr"unden der Rechenzeit m"oglichst klein halten zu k"onnen, werden periodische Randbedingungen in der $x,y$-Ebene verwendet.
42 In Version 1 der Simulation wurden $x = y = 50$ beziehungsweise $x = y = 64$ und $z = 100$ gesetzt.
43 In Version 2 sind $x = y = 64$ und $z = 233$.
45 \subsection{Amorphisierung und Rekristallisation}
46 \label{subsection:a_and_r}
48 Nach dem in Kapitel \ref{chapter:modell} vorgestellten Modell gibt es drei statistisch unabh"angige zur Amorphisierung beitragende Mechanismen.
49 Eine lokale Wahrscheinlichkeit f"ur die Amorphisierung $p_{c \rightarrow a}$ eines beliebigen kristallinen Volumens am Ort $\vec{r}$ setzt sich aus den drei Einzelwahrscheinlichkeiten f"ur die ballistische, kohlenstoffinduzierte und spannungsinduzierte Amorphisierung zusammen.
50 Sie wird wie folgt berechnet:
52 p_{c \rightarrow a}(\vec r) = p_{b} + p_{c} c_C (\vec r) + \sum_{amorphe \, Nachbarn} \frac{p_{s} \, c_C (\vec{r'})}{(\vec r - \vec{r'})^2}
56 Der Beitrag der ballistischen Amorphisierung besteht nur aus der Konstanten $p_b$.
57 Die Wahrscheinlichkeit f"ur die ballistische Amorphisierung in einem Sto"s ist unabh"angig vom Ort und somit eine Konstante.
58 Sie hat die Einheit $1$.
59 Die h"ohere Wahrscheinlichkeit, im Maximum der nuklearen Bremskraft zu amorphisieren, kommt durch die h"ohere Anzahl an St"o"sen in diesem Tiefenbereich zustande.
60 Wieso dieser Beitrag in dieser Art sinnvoll ist, wird in Abschnitt \ref{subsection:parse_trim_coll} gekl"art.
62 Die Wahrscheinlichkeit f"ur die kohlenstoffinduzierte Amorphisierung wird proportional zur lokalen Kohlenstoffkonzentration $c_C$ angenommen.
63 $p_c$ ist die dazugeh"orige Proportionalit"atskonstante und hat demnach die Einheit $[p_c] = m^3$.
65 Der Beitrag der Druckspannungen setzt sich aus den einzelnen Beitr"agen amorpher Gebiete in der selben Ebene zusammen, da nur diese unrelaxierte Spannungen aus"uben.
66 Dabei ist der Wahrscheinlichkeitsbeitrag eines amorphen Volumens bei $\vec{r'}$ auf das Volumen am Ort $\vec{r}$ wieder proportional zur lokalen Kohlenstoffkonzentration in $\vec{r'}$.
67 Dies ist offensichtlich, denn je mehr Kohlenstoff in einem amorphen Volumen vorhanden ist, desto gr"o"ser ist die ausgehende Spannung auf die Umgebung.
68 Gleichzeitig ist der Beitrag indirekt proportional zum Abstandsquadrat $(\vec r - \vec{r'})^2$, da der Druck quadratisch mit der Entfernung abf"allt.
69 $p_s$ ist eine Proportionalit"atskonstante und hat somit die Einheit $[p_s] = m^5$.
71 Die Rekristallisationswahrscheinlichkeit amorpher Gebiete $p_{a \rightarrow c}$ sollte sich genau entgegensetzt zu $p_{c \rightarrow a}$ verhalten und wird deshalb als
73 p_{a \rightarrow c}(\vec r) = 1 - p_{c \rightarrow a}(\vec r)
77 Jedoch muss die direkte Nachbarschaft des Volumens ber"ucksichtigt werden.
78 Da es sich bei den betrachteten Temperaturen allein um ionenstrahlinduzierte, epitaktische Rekristallisation handelt \cite{unklar} und einschr"ankend hier nur der Temperaturbereich bis $250 \, ^{\circ} \mathrm{C}$ behandelt wird, in dem keine merkliche ionenstrahlinduzierte Nukleation innerhalb amorpher Bereiche auftritt \cite{unklar}, sollte f"ur die Rekristallisation die Strukturinformation einer kristallinen Nachbarschaft notwendig sein.
79 Mit einer zunehmenden Anzahl von amorphen Nachbarn sollte die Rekristallisationswahrscheinlichkeit also sukzessive abnehmen und ganz verschwinden, wenn kein einziger kristalliner Nachbar vorhanden ist.
80 Mit der im Abschnitt \ref{subsection:unterteilung} beschriebenen Unterteilung hat ein Volumen genau sechs Grenzfl"achen, von denen die Rekristallisationsfront ausgehen kann.
81 Damit kann man \eqref{eq:p_ac_local} neu schreiben und man erh"alt:
83 p_{a \rightarrow c}(\vec r) = (1 - p_{c \rightarrow a}(\vec r)) \Big(1 - \frac{\sum_{direkte \, Nachbarn} \delta (\vec{r'})}{6} \Big) \, \textrm{,}
88 \delta (\vec r) = \left\{
90 1 & \textrm{wenn Gebiet bei $\vec r$ amorph} \\
97 Die Proportionalit"atskonstanten $p_b$, $p_c$ und $p_s$ sind bisher experimentell nicht zug"anglich und werden daher als frei w"ahlbare Simulationsparameter angenommen.
98 Es stellt sich also die Frage, ob ein Satz von Parametern existiert, der es erlaubt, experimentell gefundene Verteilungen, wie sie in Abbildung \ref{img:xtem_img} gezeigt werden, durch die Simulation zu erhalten.
99 Durch Variation der gefundenen Parameter k"onnen dann die unterschiedlichen Einfl"usse der verschiedenen Amorphisierungsmechanismen untersucht und der Selbstorganisationsprozess verstanden werden.
101 \subsection{Diffusion}
103 Weiterhin sieht das Modell die M"oglichkeit der Diffusion von Kohlenstoff aus kristallinen in umliegende amorphe Volumina vor.
104 In Zeitintervallen $T_{Diff}$ wird ein Anteil $d_r$ des Kohlenstoffs eines kristallinen Volumens in das benachbarte amorphe Volumen transferiert.
105 Da von einem konstanten Strahlstrom ausgegangen wird, kann die Zeit $T_{Diff}$ auf eine Anzahl von implantierten Ionen $d_v$ abgebildet werden.
106 Die Diffusion des Kohlenstoffs von amorphen in kristalline Gebiete wird also durch die zwei Parameter $d_r$ und $d_v$ gesteuert.
107 Die Parameter sind ebenfalls frei w"ahlbar.
108 Aus Gr"unden der Rechenzeit sollte die Diffusionsroutine nicht nach jedem implantierten Ion ausgef"uhrt werden.
109 Diffusion innerhalb kristalliner Gebiete sowie Diffusion innerhalb amorpher Gebiete wird ausgeschlossen.
110 Von einer m"oglichen Kohlenstoff"ubers"attigung im Amorphen wird nicht ausgegangen, da der Kohlenstoff in $a-Si$ gut l"oslich ist.
111 Da die L"oslichkeit von Kohlenstoff in $c-Si$ nahezu Null ist, wird der Kohlenstoff immer bestrebt sein von dem kristallinen Bereich in die amorphen Gebiete zu diffundieren.
113 \subsection{Sputtern}
115 Es wird von einer, "uber der Oberfl"ache gleichm"assig verteilten und w"ahrend des Implantationsvorgangs konstanten Sputterrate ausgegangen.
116 Auf Grund der Unterteilung des Targets in W"urfel mit der Seitenl"ange $3 nm$ muss diese Sputterrate in Einheiten einer Dosis, welche $3 nm$ sputtert, angegeben werden.
117 Jedesmal, nachdem das Programm diese Dosis durchlaufen hat, wird die Sputter-Routine aufgerufen, welche die oberste Targetebene abtr"agt.
119 \section{Statistik von Sto"sprozessen}
121 F"ur die Simulation ben"otigt man die Statistik der Sto"sprozesse des Kohlenstoffs im Silizium-Target unter den gegebenen Implantationsbedingungen.
122 Dabei sind insbesondere die nukleare Bremskraft f"ur den Amorphisierungs- beziehungsweise Rekristallisationsschritt und das Implantationsprofil f"ur den Einbau des Kohlenstoffs ins Silizium-Target von Interesse.
123 {\em NLSOP} benutzt die Ergebnisse des {\em TRIM}-Programms, welches die Wechelswirkung der Ionen mit dem Target simuliert und somit ein geeignetes Bremskraft- und Implantationsprofil, sowie eine genaue Buchf"uhrung "uber die Sto"skaskaden bereitstellt.
124 Durch die Abbildung von Zufallszahlen auf die so erhaltenen Verteilungen k"onnen die eigentlichen physikalischen Abl"aufe sehr schnell und einfach behandelt werden.
125 Im Folgenden wird auf die Ermittlung einiger, f"ur {\em NLSOP} wichtige Statistiken eingegangen.
127 \subsection{Implantationsprofil und nukleare Bremskraft}
130 \includegraphics[width=12cm]{2pTRIM180C.eps}
131 \caption{Von {\em TRIM} ermittelte Reichweitenverteilung und tiefenabh"angige Bremskr"afte f"ur $180 keV$ $C^+ \rightarrow Si$}
132 \label{img:bk_impl_p}
134 Abbildung \ref{img:bk_impl_p} zeigt die von {\em TRIM} ermittelte nukleare Bremskraft sowie das Kohlenstoffkonzentrationsprofil f"ur die in dieser Arbeit verwendeten Parameter.
135 Die gestrichelte Linie markiert das Ionenprofilmaximum.
136 Sputtereffekte und Abweichungen auf Grund der kontinuierlich ver"anderten Targetzusammensetzung w"ahrend der Hochdosisimplantation werden von {\em TRIM} allerdings nicht ber"ucksichtigt.
138 Die Profile werden von {\em TRIM} selbst in seperate Dateien geschrieben.
139 Tauscht man die Kommata (Trennung von Ganzzahl und Kommastelle) durch Punkte aus, so kann {\em NLSOP} diese Dateien auslesen und die Profile extrahieren.
141 \subsection{Durchschnittliche Anzahl der St"o"se der Ionen und Energieabgabe}
142 \label{subsection:parse_trim_coll}
144 Weiterhin bietet {\em TRIM} die M"oglichkeit eine Datei Namens {\em COLLISION.TXT} anzulegen, in der s"amtliche Sto"skaskaden protokolliert sind.
145 Zu jedem Sto"s sind Koordinaten und Energie"ubertrag angegeben.
146 Mit dem Programm {\em parse_trim_collision} (siehe Anhang \ref{section:hilfsmittel}) kann diese Datei ausgewertet werden.
147 Die daraus gewonnen Erkenntnisse sollen im Folgenden diskutiert werden.
148 F"ur diese Statistik wurden die Sto"skaskaden von $8300$ implantierten Ionen verwendet.
151 \includegraphics[width=12cm]{trim_coll.eps}
152 \caption{Auf das Maximum 1 skalierte tiefenabh"angige Energieabgabe (blau) und Anzahl der Kollisionen (rot)}
153 \label{img:trim_coll}
155 Abbildung \ref{img:trim_coll} zeigt die nukleare Energieabgabe und die Anzahl der St"o"se von Ionen und Recoils in Abh"angigkeit von der Tiefe.
156 Beide Graphen wurden auf das selbe Maximum skaliert.
157 Man erkennt, dass diese nahezu identisch sind.
158 Die durchschnittliche Energieabgabe pro Sto"s ist also ungef"ahr konstant und unabh"angig von der Tiefe.
159 Dies ist der Grund f"ur die Wahl eines konstanten Beitrags der ballistischen Amorphisierung in Abschnitt \ref{subsection:a_and_r}.
160 Jeder Sto"s "ubertr"agt durchschnittlich einen konstanten Energiebetrag im Falle einer Kollision, und tr"agt somit einen konstanten Anteil zur Amorphisierungswahrscheinlichkeit bei.
162 Desweiteren ist nun die Wahrscheinlichkeit f"ur eine Kollision in einer bestimmten Tiefe bekannt.
163 Sie ist proportional zur Anzahl der Kollisionen in dieser Tiefe.
166 \includegraphics[width=12cm]{trim_nel.eps}
167 \caption{Durch {\em TRIM} berechneter nuklearer Energieverlust f"ur $180 keV$ $C^+ \rightarrow Si$.}
170 Zum Vergleich zeigt Abbildung \ref{img:trim_nel} die von {\em TRIM} selbst berechnete nukleare Bremskraft.
171 Wie zu erwarten entspricht sie ungef"ahr dem Verlauf der in Abbildung \ref{img:trim_coll} gezeigten Energieabgabe.
172 Dieses Profil wird f"ur {\em NLSOP} benutzt.
175 \includegraphics[width=12cm]{trim_impl.eps}
176 \caption{Durch {\em TRIM} berechnetes Implantationsprofil f"ur $180 keV$ $C^+ \rightarrow Si$.}
177 \label{img:trim_impl}
179 In Abbildung \ref{img:trim_impl} ist das f"ur diese Simulation verwendete, von {\em TRIM} berechnete Implantationsprofil abgebildet.
180 Es wurde aus der selben Rechnung wie das nukleare Bremskraftprofil gewonnen.
181 Das Implantationsmaximum liegt bei ungef"ahr $530 nm$.
182 Dieses Profil wird ebenfalls f"ur {\em NLSOP} verwendet.
184 Ein implantiertes Ion und dadurch entstandene Recoils verursachen durchschnittlich eine Anzahl von $1088$ Kollisionen, bis alle Teilchen bis auf Energien unterhalb der Verlagerungsenergie f"ur $Si$-Atome von $15 eV$ \cite{unknown} abgesunken sind.
185 Die Zahl der getroffenen W"urfel, also Volumina in denen ein Ion mindestens eine Kollision verursacht, ist sehr viel geringer.
186 Das Auswertungsprogramm {\em parse_trim_collision} z"ahlt durchschnittlich $75$ getroffene Volumina pro implantiertem Ion.
187 Genauer gesagt z"ahlt das Programm die Anzahl der Ebenen mit $3 nm$ H"ohe in denen Kollisionen verursacht werden.
188 Teilchenbahnen parallel zur Targetoberfl"ache verf"alschen diese Zahl.
189 Ausserdem werden mehrmalige Durchl"aufe der Ebenen nicht mitgez"ahlt.
190 Man sollte weiterhin beachten, dass Volumina in denen selbst nur eine Kollision stattfindet mitgez"ahlt werden, was allerdings nur sehr unwahrscheinlich zur Amorphisierung f"uhren wird.
191 Daher wird eine Trefferzahl von $h=100$ f"ur die Simulation angenommen.
193 \section{Simulationsalgorithmus}
195 Die Simulation kann in die drei Abschnitte Amorphisierung/Rekristallisation, Fremdatomeinbau und Diffusion/Sputtern gegliedert werden.
196 Die beschriebenen Prozeduren werden sequentiell abgearbeitet und beliebig oft durchlaufen.
198 Wenn, wie in Version 2 der Simulation, pro Durchlauf die Anzahl der simulierten Sto"skaskaden gleich der Anzahl der getroffenen Volumina ist, entspricht ein Durchlauf genau einem implantierten Ion.
199 Im Folgenden sei die Anzahl der W"urfel in $x$, $y$ und $z$ Richtung $X$, $Y$ und $Z$.
200 Eine Anzahl von $N$ Durchl"aufen ist damit "aquivalent zur Dosis $D$, die wie folgt gegeben ist:
202 D = \frac{N}{XY(3 nm)^2} \, \textrm{.}
203 \label{eq:dose_steps}
206 Es wird mit einem komplett kristallinen und kohlenstofffreien Target gestartet.
208 \subsection{Amorphisierung und Rekristallisation}
209 \label{subsection:a_r_step}
212 \begin{pspicture}(0,0)(12,18)
214 \rput(6,18){\rnode{start}{\psframebox{{\em NLSOP} Start}}}
216 \rput(6,16){\rnode{random1}{\psframebox{\parbox{7.5cm}{
217 Ausw"urfeln der Zufallszahlen:\\
218 $R_1$, $R_2$, $R_3$ entsprechend nuklearer Bremskraft\\
221 \ncline[]{->}{start}{random1}
223 \rput(6,14){\rnode{koord_wahl}{\psframebox{\parbox{7.5cm}{
224 Bestimmung von $\vec{r}(k,l,m)$ durch Abbildung von $R_1$, $R_2$ und $R_3$ auf $k$, $l$ und $m$
226 \ncline[]{->}{random1}{koord_wahl}
228 \rput(6,11){\rnode{berechnung_pca}{\psframebox{\parbox{12cm}{
229 Berechnung von $p_{c \rightarrow a}(\vec{r})$ und $p_{a \rightarrow c}(\vec{r})$:
232 p_{c \rightarrow a}(\vec r) & = & p_{b} + p_{c} \, c_{Kohlenstoff}(\vec r) + \sum_{amorphe \, Nachbarn} \frac{p_{s} \, c_{Kohlenstoff}(\vec{r'})}{(\vec r - \vec{r'})^2} \\
233 p_{a \rightarrow c}(\vec r) & = & (1 - p_{c \rightarrow a}(\vec r)) \Big(1 - \frac{\sum_{direkte \, Nachbarn} \delta (\vec{r'})}{6} \Big)
237 \delta (\vec r) = \left\{
239 1 & \textrm{wenn Gebiet bei $\vec r$ amorph} \\
240 0 & \textrm{sonst} \\
245 \ncline[]{->}{koord_wahl}{berechnung_pca}
247 \rput(6,8){\rnode{status}{\psframebox{Volumen $\vec{r}(k,l,m)$ amorph?}}}
248 \ncline[]{->}{berechnung_pca}{status}
250 \rput(3,6){\rnode{cryst}{\psframebox[linestyle=solid,linecolor=blue]{$R_4 \le p_{c \rightarrow a}$?}}}
251 \rput(9,6){\rnode{amorph}{\psframebox[linestyle=solid,linecolor=red]{$R_4 \le p_{a \rightarrow c}$?}}}
252 \ncline[]{->}{status}{cryst}
255 \ncline[]{->}{status}{amorph}
258 \rput(3,4){\rnode{do_amorph}{\psframebox[linestyle=solid,linecolor=red]{Setze Volumen amorph}}}
259 \ncline[]{->}{cryst}{do_amorph}
262 \rput(9,4){\rnode{do_cryst}{\psframebox[linestyle=solid,linecolor=blue]{Setze Volumen kristallin}}}
263 \ncline[]{->}{amorph}{do_cryst}
266 \rput(6,3){\rnode{check_h}{\psframebox{Anzahl der Durchl"aufe gleich Anzahl der Treffer pro Ion?}}}
268 \rput(6,6){\pnode{h_2}}
269 \ncline[]{amorph}{h_2}
270 \ncline[]{->}{h_2}{check_h}
273 \rput(6,6){\pnode{h_3}}
274 \ncline[]{cryst}{h_3}
275 \ncline[]{->}{h_3}{check_h}
278 \rput(13,3){\pnode{h_4}}
279 \rput(13,16){\pnode{h_5}}
280 \ncline[]{check_h}{h_4}
283 \ncline[]{->}{h_5}{random1}
285 \ncline[]{->}{do_cryst}{check_h}
286 \ncline[]{->}{do_amorph}{check_h}
288 \rput(6,1){\rnode{weiter_1}{\psframebox{$\bigotimes$}}}
289 \ncline[]{->}{check_h}{weiter_1}
293 \caption{{\em NLSOP} Ablaufschema Teil 1: Amorphisierung und Rekristallisation.}
294 \label{img:flowchart1}
297 Im ersten Schritt sollen die Kollisionen und die daraus resultierende Amorphisierung beziehungsweise Rekristallisation simuliert werden.
298 Das zugeh"orige Ablaufschema ist in Abbildung \ref{img:flowchart1} gezeigt.
299 Zun"achst muss das gesto"sene Volumen ausgew"ahlt werden.
300 Die St"o"se sind bez"uglich der $x$ und $y$ Richtung statistisch isotrop verteilt.
301 Es werden zwei gleichverteilte Zufallszahlen $r_1 \in [0,X[$ und $r_2 \in [0,Y[$ nach \eqref{eq:gleichverteilte_r} ausgew"urfelt.
302 Diese werden auf die ganzen Zahlen $k$ und $l$ abgebildet und bestimmen die Lage des getroffenen Volumens in der $x,y$-Ebene.
303 Eine weitere, mit Hilfe der Verwerfungsmethode aus Abschnitt \ref{subsubsection:verwerf_meth} erzeugte Zufallszahl $r_3 \in [0,Z[$ entsprechend der nuklearen Bremskraft, abgebildet auf die ganze Zahl $m$, legt die Tiefe des getroffenen Volumens fest.
304 Somit hat man den Ortsvektor $\vec{r}(k,l,m)$ f"ur den Amorphisierungs- oder Rekristallisationsvorgang bestimmt.
305 Nun kann die Amorphisierungs- beziehungsweise Rekristallisationswahrscheinlichkeit nach \eqref{eq:p_ca_local} beziehungsweise \eqref{eq:p_ac_genau} berechnet werden.
306 Eine weitere Zufallszahl $r_4 \in [0,1[$ entscheidet dann "uber einen eventuellen Statuswechsel des Volumens.
307 Es gibt folgende M"oglichkeiten:
309 \item Volumen $\vec{r}(k,l,m)$ ist kristallin.\\
310 Wenn $r_4$ kleiner gleich $p_{c \rightarrow a}$ ist, wechselt der Status zu amorph.
311 Ansonsten bleibt der Status unver"andert.
312 \item Volumen $\vec{r}(k,l,m)$ ist amorph.\\
313 Wenn $r_4$ kleiner gleich $p_{a \rightarrow c}$ ist, wechselt der Status zu kristallin.
314 Ansonsten bleibt der Status unver"andert.
317 Der gesamte Amorphisierungs- und Rekristallisationsschritt wird f"ur die Anzahl der getroffenen Volumina pro implantierten Ion $h$ wiederholt.
319 \subsection{Einbau des implantierten Kohlenstoffs ins Target}
322 \begin{pspicture}(0,0)(12,18)
324 \rput(6,18){\rnode{weiter_2}{\psframebox{$\bigotimes$}}}
326 \rput(6,16){\rnode{random2}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=green]{\parbox{7.5cm}{
327 Ausw"urfeln der Zufallszahlen:\\
328 $R_5$, $R_6$, $R_7$ entsprechend Reichweitenverteilung
330 \ncline[]{->}{weiter_2}{random2}
332 \rput(2,14){\rnode{koord_wahl_i}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=green]{\parbox{7cm}{
333 Bestimmung von $\vec{r}(k,l,m)$ durch Abbildung von $R_5$, $R_6$ und $R_7$ auf $k$, $l$ und $m$
335 \ncbar[angleA=180,angleB=180]{->}{random2}{koord_wahl_i}
337 \rput(10,14){\rnode{inc_c}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=green]{\parbox{7cm}{
338 Erh"ohung des Kohlenstoffs im Volumen $\vec{r}(k,l,m)$
340 \ncline[]{->}{koord_wahl_i}{inc_c}
342 \rput(10,12){\rnode{is_d}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Durchlauf vielfaches von $d_v$?}}}
343 \ncline[]{->}{inc_c}{is_d}
345 \rput(2,12){\rnode{is_s}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=red]{Durchlauf vielfaches von $n$?}}}
346 \ncline[]{->}{is_d}{is_s}
349 \rput(10,10){\rnode{loop_d}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Gehe alle/verbleibende Volumina durch?}}}
350 \ncline[]{->}{is_d}{loop_d}
353 \rput(10,9){\rnode{d_is_amorph}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Volumen $\vec{r}(k,l,m)$ amorph?}}}
354 \ncline[]{->}{loop_d}{d_is_amorph}
356 \rput(10,7){\rnode{loop_dn}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{\parbox{4cm}{
357 Gehe alle/verbleibende\\
358 direkte Nachbarn durch
360 \ncline[]{->}{d_is_amorph}{loop_dn}
363 \rput(10,6){\rnode{is_cryst}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Nachbarvolumen kristallin?}}}
364 \ncline[]{->}{loop_dn}{is_cryst}
366 \rput(11,4){\rnode{transfer}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{\parbox{3.5cm}{
367 "Ubertrage den Anteil $d_r$ des Kohlenstoffs
369 \ncline[]{->}{is_cryst}{transfer}
372 \rput(10,3){\rnode{check_dn}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Alle Nachbarn durch?}}}
373 \ncline[]{->}{transfer}{check_dn}
374 \rput(8.5,5){\pnode{h1}}
375 \ncline[]{is_cryst}{h1}
376 \rput(8.5,3.2){\pnode{h2}}
377 \ncline[]{->}{h1}{h2}
379 \rput(13,3){\pnode{h3}}
380 \ncline[]{check_dn}{h3}
381 \rput(13,7){\pnode{h4}}
384 \ncline[]{->}{h4}{loop_dn}
386 \rput(10,1){\rnode{check_d}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Alle Volumina durch?}}}
387 \ncline[]{->}{check_dn}{check_d}
389 \rput(13.5,1){\pnode{h5}}
390 \ncline[]{check_d}{h5}
391 \rput(13.5,10){\pnode{h6}}
394 \ncline[]{->}{h6}{loop_d}
395 \rput(6,1){\pnode{h7}}
396 \ncline[]{check_d}{h7}
398 \rput(6,11){\pnode{h8}}
400 \rput(4.4,11.9){\pnode{h9}}
401 \ncline[]{->}{h8}{h9}
403 \rput(2,9){\rnode{s_p}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=red]{\parbox{7cm}{
406 \item Kopiere Inhalt von Ebene $i$ nach\\
407 Ebene $i-1$ f"ur $i = Z,Z-1,\ldots ,2$
408 \item Setze Status jedes Volumens in Ebene $Z$ kristallin
409 \item Setze Kohlenstoff jedes Volumens in Ebene $Z$ auf Null
412 \ncline[]{->}{is_d}{loop_d}
414 \ncline[]{->}{is_s}{s_p}
416 \rput(2,5){\rnode{check_n}{\psframebox{\parbox{4cm}{
417 Anzahl Durchl"aufe entsprechend Dosis?
419 \ncline[]{->}{s_p}{check_n}
421 \rput(4,3){\rnode{start}{\psframebox{{\em NLSOP} Start}}}
422 \ncline[]{->}{check_n}{start}
424 \rput(0,3){\rnode{stop}{\psframebox{{\em NLSOP} Stop}}}
425 \ncline[]{->}{check_n}{stop}
429 \caption{{\em NLSOP} Ablaufschema Teil 2: Kohlenstoffeinbau (gr"un), Diffusion (gelb) und Sputtervorgang (rot).}
430 \label{img:flowchart2}
433 Nachdem das Ion die Sto"sprozesse beendet hat, kommt es im Target zur Ruhe.
434 Die Wahl des Volumens, in das das Ion eingebaut wird, ist analog zur Wahl der Ermittlung des zu sto"senden Volumens.
435 Lediglich die Implantationstiefe wird durch eine Zufallszahl bestimmt, deren Wahrscheinlichkeitsverteilung dem Konzentrationsprofil entspricht.
436 Zur Erzeugung der entsprechenden Zufallszahl wird wieder die in \ref{subsubsection:verwerf_meth} beschriebene Verwerfungsmethode benutzt.
438 In dem ausgew"ahlten W"urfel $\vec{r}(k,l,m)$ wird der Z"ahler f"ur den Kohlenstoff um eins erh"oht.
440 \subsection{Diffusion und Sputtern}
443 \begin{pspicture}(0,0)(12,18)
445 \rput(6,18){\rnode{weiter_2}{\psframebox{$\bigotimes$}}}
447 \rput(6,16){\rnode{random2}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=green]{\parbox{7.5cm}{
448 Ausw"urfeln der Zufallszahlen:\\
449 $R_5$, $R_6$, $R_7$ entsprechend Reichweitenverteilung
451 \ncline[]{->}{weiter_2}{random2}
453 \rput(2,14){\rnode{koord_wahl_i}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=green]{\parbox{7cm}{
454 Bestimmung von $\vec{r}(k,l,m)$ durch Abbildung von $R_5$, $R_6$ und $R_7$ auf $k$, $l$ und $m$
456 \ncbar[angleA=180,angleB=180]{->}{random2}{koord_wahl_i}
458 \rput(10,14){\rnode{inc_c}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=green]{\parbox{7cm}{
459 Erh"ohung des Kohlenstoffs im Volumen $\vec{r}(k,l,m)$
461 \ncline[]{->}{koord_wahl_i}{inc_c}
463 \rput(10,12){\rnode{is_d}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Durchlauf vielfaches von $d_v$?}}}
464 \ncline[]{->}{inc_c}{is_d}
466 \rput(2,12){\rnode{is_s}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=red]{Durchlauf vielfaches von $n$?}}}
467 \ncline[]{->}{is_d}{is_s}
470 \rput(10,10){\rnode{loop_d}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Gehe alle/verbleibende Volumina durch?}}}
471 \ncline[]{->}{is_d}{loop_d}
474 \rput(10,9){\rnode{d_is_amorph}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Volumen $\vec{r}(k,l,m)$ amorph?}}}
475 \ncline[]{->}{loop_d}{d_is_amorph}
477 \rput(10,7){\rnode{loop_dn}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{\parbox{4cm}{
478 Gehe alle/verbleibende\\
479 direkte Nachbarn durch
481 \ncline[]{->}{d_is_amorph}{loop_dn}
484 \rput(10,6){\rnode{is_cryst}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Nachbarvolumen kristallin?}}}
485 \ncline[]{->}{loop_dn}{is_cryst}
487 \rput(11,4){\rnode{transfer}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{\parbox{3.5cm}{
488 "Ubertrage den Anteil $d_r$ des Kohlenstoffs
490 \ncline[]{->}{is_cryst}{transfer}
493 \rput(10,3){\rnode{check_dn}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Alle Nachbarn durch?}}}
494 \ncline[]{->}{transfer}{check_dn}
495 \rput(8.5,5){\pnode{h1}}
496 \ncline[]{is_cryst}{h1}
497 \rput(8.5,3.2){\pnode{h2}}
498 \ncline[]{->}{h1}{h2}
500 \rput(13,3){\pnode{h3}}
501 \ncline[]{check_dn}{h3}
502 \rput(13,7){\pnode{h4}}
505 \ncline[]{->}{h4}{loop_dn}
507 \rput(10,1){\rnode{check_d}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Alle Volumina durch?}}}
508 \ncline[]{->}{check_dn}{check_d}
510 \rput(13.5,1){\pnode{h5}}
511 \ncline[]{check_d}{h5}
512 \rput(13.5,10){\pnode{h6}}
515 \ncline[]{->}{h6}{loop_d}
516 \rput(6,1){\pnode{h7}}
517 \ncline[]{check_d}{h7}
519 \rput(6,11){\pnode{h8}}
521 \rput(4.4,11.9){\pnode{h9}}
522 \ncline[]{->}{h8}{h9}
524 \rput(2,9){\rnode{s_p}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=red]{\parbox{7cm}{
527 \item Kopiere Inhalt von Ebene $i$ nach\\
528 Ebene $i-1$ f"ur $i = Z,Z-1,\ldots ,2$
529 \item Setze Status jedes Volumens in Ebene $Z$ kristallin
530 \item Setze Kohlenstoff jedes Volumens in Ebene $Z$ auf Null
533 \ncline[]{->}{is_d}{loop_d}
535 \ncline[]{->}{is_s}{s_p}
537 \rput(2,5){\rnode{check_n}{\psframebox{\parbox{4cm}{
538 Anzahl Durchl"aufe entsprechend Dosis?
540 \ncline[]{->}{s_p}{check_n}
542 \rput(4,3){\rnode{start}{\psframebox{{\em NLSOP} Start}}}
543 \ncline[]{->}{check_n}{start}
545 \rput(0,3){\rnode{stop}{\psframebox{{\em NLSOP} Stop}}}
546 \ncline[]{->}{check_n}{stop}
550 \caption{{\em NLSOP} Ablaufschema Teil 2: Kohlenstoffeinbau (gr"un), Diffusion (gelb) und Sputtervorgang (rot).}
551 \label{img:flowchart3}
554 Im Folgenden wird auf die Realisierung der Diffusion eingegangen.
555 Die Simulation geht der Reihe nach alle Volumina durch.
556 Im Falle eines amorphen Volumens werden aus direkt anliegenden kristallinen Volumina ein Anteil $d_r$ des Kohlenstoffs abgezogen und zu dem amorphen Volumen addiert.
557 Da nur ganze Atome "ubertragen werden k"onnen, wird der Betrag auf die n"achst kleinere ganze Zahl abgerundet.
558 Dieser Diffusionsvorgang wird alle $d_v$ Schritte ausgef"uhrt.
560 Die Sputter-Routine wird nach der Dosis, die einem Abtrag von einer Ebene von Zellen ($3 nm$) entspricht, ausgef"uhrt und bewirkt, dass diese oberste Ebene entfernt wird.
561 Der Zusammenhang zwischen Sputterrate $S$ und Anzahl der Simulationsdurchl"aufe $n$ ist demnach wie folgt gegeben:
563 S = \frac{(3 nm)^3 XY }{n} \quad \textrm{.}
565 Nach $n$ Simulationsdurchl"aufen wird eine kohlenstofffreie, kristalline Ebene von unten her eingeschoben.
566 Der Inhalt der Ebene $i$ wird auf die Ebene $i-1$ (f"ur $i = Z, Z-1, \ldots, 2$) "uberschrieben.
567 Die Information der obersten Ebene $i=1$ geht dabei verloren.
568 Diese entspricht der abgetragenen Ebene.
569 Die Ebene $i=Z$ erh"alt kristallinen Status und die Kohlenstoffkonzentration Null.
571 Dies macht allerdings nur Sinn, wenn das Implantationsprofil und die nukleare Bremskraft f"ur die Ebenen tiefer $Z$ auf Null abgefallen ist, um kristalline, kohlenstofffreie Ebenen zu garantieren.
573 Die Sputterrate kann durch {\em TRIM} bestimmt werden.
574 Bei den gegebenen Bedingungen werden ungef"ahr $50 nm$ des Targets bei einer Dosis von $4,3 \times 10^{-17} cm^{-2}$ abgetragen.
576 \section{Simulierte Tiefenbereiche}
577 \label{section:sim_tiefenbereich}
579 Wie bereits erw"ahnt gibt es zwei verschiedene Versionen des Programms. Sie simulieren zwei unterschiedlich gro"se Tiefenbereiche, welche im Folgenden Simulationsfenster genannt werden.
581 Da in erster Linie der Selbstorganisationsprozess der lamellaren Ausscheidungen an der vorderen Grenzfl"ache der amorphen $SiC_x$-Schicht simuliert werden soll, ist der Tiefenbereich der ersten Version gerade bis zum Beginn der durchgehenden Schicht.
582 Dies entspricht einer Tiefe von ungef"ahr $300 nm$, und somit einer Anzahl von $Z=100$ W"urfeln in $z$-Richtung.
584 Wie in \ref{img:bk_impl_p} gut zu erkennen ist, kann in diesem Tiefenbereich sowohl die Reichweitenverteilung, als auch die nukleare Bremskraft durch eine von der Tiefe linear abh"angige Funktion gen"ahert werden.
585 Daher ergeben sich "Anderungen zu den im vorigen Abschnitt erkl"arten Methoden zur Wahl des Volumens, in dem ein Sto"sprozess beziehungsweise eine Kohlenstofferh"ohung stattfindet.
587 Die Zufallszahl $z$, die auf die Tiefen-Koordinate $m$ abgebildet wird, muss der Verteilung $p(z)dz = (sz + s_0)dz$ gen"ugen.
588 Dabei sind $s$ und $s_0$ Simulationsparameter, die die linear gen"aherte nukleare Bremskraft beschreiben.
589 Die Transformation wird wie in Abschnitt \ref{subsubsection:lin_g_p} beschrieben durchgef"uhrt.
590 Dasselbe betrifft die Wahl der Tiefen-Koordinate f"ur den Einbau des Kohlenstoffatoms.
591 Anstatt der Wahrscheinlichkeitsverteilung der nuklearen Bremskraft entsprechend, wird eine Verteilung entsprechend dem linear gen"aherte Implantationsprofil verwendet.
592 Ausserdem wird nicht nach jedem Durchlauf ein Ion im Simulationsbereich zur Ruhe kommen.
593 Da das Maximum der Reichweitenverteilung sehr viel tiefer liegt, werden die meisten Ionen ausserhalb des Simulationsfensters stehen bleiben.
594 Daher wird immer nur dann ein Ion eingebaut, wenn der im Simulationsbereich vorhandene Kohlenstoff $n_c$ kleiner als die Anzahl der Durchl"aufe $n$ multipliziert mit dem Verh"altnis der Fl"ache der Implantationskurve $I(x)$ bis $300 nm$ zur Fl"ache der gesamten Implantationskurve ist.
596 n_c < n \frac{\int_0^{300 nm} I(x) dx}{\int_0^{\infty} I(x) dx}
599 Da sowohl die Reichweitenverteilung, als auch die nukleare Bremskraft in Ebenen gr"osser $Z$ ungleich Null ist, kann Sputtern nicht beachtet werden.
600 Der Diffusionsprozess ist uneingeschr"ankt "moglich.
602 Hier sei angemerkt, dass die Simulation prinzipiell auch Diffusion von Kohlenstoff innerhalb kristalliner Volumina behandeln kann.
603 Die erste Idee war, dass Kohlenstoff in kristalline Gebiete diffundieren kann, die bereits einen grossen Anteil ihres Kohlenstoffs an einen amorphen Nachbarn abgegeben haben.
604 Da jedoch das Konzentrationsprofil durch Diffusionsprozesse nicht ver"andert werden darf, wurde die rein kristalline Diffusion in $z$-Richtung ausgeschlossen.
605 Da weiterhin die Implantationsprofile von experimentellen Messungen und {\em TRIM}-Simulationen recht gut "ubereinstimmen, kann Diffusion in $z$-Richtung tats"achlich ausgeschlossen werden.
606 Eine Vorzugsrichtung der Diffusion ist unphysikalisch, weshalb die Diffusion innerhalb kristalliner Gebiete in weiteren Simulationen ausgeschlossen wurde.
607 Als Relikt bleibt die Option die Diffusion in $z$-Richtung auszuschalten.
609 In der zweiten Version wird die gesamte Implantationstiefe simuliert.
610 Das Simulationsfenster geht von $0-700 nm$.
611 Dies entspricht einer Anzahl $Z=233$ von W"urfeln in $z$-Richtung.
613 Die Tiefen-Koordinaten f"ur den Sto"sprozess und die Kohlenstoffinkorporation werden wie in Abschnitt \ref{subsection:a_r_step} beschrieben nach der Verwerfungsmethode entsprechend dem nuklearen Bremskraftprofil und der Reichweitenverteilung gewonnen.
615 Da sowohl der nukleare Energieverlust und die Kohlenstoffkonzentration in Ebenen gr"osser $Z$ auf Null abgesunken ist, kann die Sputterroutine ausgef"uhrt werden.
616 Der Diffusionsprozess ist ebenfalls uneingeschr"ankt m"oglich.
618 \section{Test der Zufallszahlen}
620 F"ur vern"unftige Ergebnisse muss die Qualit"at der Zufallszahlen gesichert sein.
621 Es gibt viele statistische Tests eine Zahlenfolge auf ihre Verteilung beziehungsweise Zuf"alligkeit zu "uberpr"ufen.
623 Im Folgenden soll nur kontrolliert werden, dass f"ur gleichverteilte Zufallszahlen keine lokalen Anh"aufungen von Zahlen existieren.
624 Desweiteren werden die Methoden zur Erzeugung spezieller Wahrscheinlichkeitsverteilungen durch Vergleich der H"aufigkeit auftretender Zufallszahlen mit dem gew"unschten Verlauf "uberpr"uft.
626 Dazu werden f"ur die unterschiedlichen Verteilungen jeweils 10 Millionen Zufallszahlen zwischen $0$ und $232$ erzeugt und auf die n"achst kleinere ganze Zahl abgerundet.
627 Ein einfaches Script-Programm z"ahlt die H"aufigkeit der einzelnen Zufallszahlen in der Zufallszahlensequenz.
630 \includegraphics[width=12cm]{random.eps}
631 \caption{H"aufigkeit ganzzahliger Zufallszahlen unterschiedlicher Wahrscheinlichkeitsverteilungen. F"ur jede Verteilung wurden 10 Millionen Zufallszahlen ausgew"urfelt.}
632 \label{img:random_distrib}
634 Abbildung \ref{img:random_distrib} zeigt die H"aufigkeit von Zufallszahlen zwischen $0$ und $232$, abgerundet auf die n"achst kleinere ganze Zahl, f"ur unterschiedliche Wahrscheinlichkeitsverteilungen.
636 Die blauen Punkte zeigen die Gleichverteilung nach \eqref{eq:gleichverteilte_r}.
637 Man erkennt keine lokalen Anh"aufungen.
639 Die roten Punkte zeigen die H"aufigkeit der Zufallszahlen bei Verwendung einer linear steigenden Wahrscheinlichkeitsverteilung wie in Abschnitt \ref{subsubsection:lin_g_p} beschrieben.
640 Dabei wurde $a=1$, $b=0$ und $Z=233$ gew"ahlt.
641 Wie erwartet zeigen die Punkte einen linearen Verlauf.
643 Die H"aufigkeiten, der mit der Verwerfungsmethode erzeugten Zufallszahlen entsprechend der nuklearen Bremskraft (gr"un) und dem Implantationsprofil (schwarz), stimmen sehr gut mit den Profilen in Abbildung \ref{img:bk_impl_p} "uberein.