3 Im Folgenden soll die Implementation der Monte-Carlo-Simulation nach dem vorangegangen Modell diskutiert werden.
4 Die Simulation tr"agt den Namen {\em NLSOP}, was kurz f"ur die Schlagw"orter {\bf N}ano, {\bf L}amelle und {\bf S}elbst{\bf O}ragnisations{\bf P}rozess steht.
5 Ziel der Simulation ist die Verifizierung des Modells anhand der experimentellen Ergebnisse die in Abbildung \ref{img:xtem_img} vorliegen.
6 Die genauen Daten sind:
8 \item Energie: $E=180 keV$
9 \item Dosis: $D = 4,3 \times 10^{17} cm^{-2}$
10 \item Temperatur: $T = 150 ^{\circ} \mathrm{C}$
11 \item Imlantationswinkel: $\alpha = 7 ^{\circ}$
12 \item Ion/Target Kombination: $C^+ \rightarrow Si (100)$
14 Anzumerken ist, dass es zwei Versionen der Simulation gibt, die unterschiedliche Tiefenbereiche abdecken.
15 Diese unterscheiden sich in einigen Punkten, was den Simualtionsalgorithmus betrifft.
16 Darauf wird in einem gesonderten Abschnitt genauer eingegangen.
17 Der Simulationsalgorithmus wird erkl"art und die dazu ben"otigten Annahmen und Informationen aus {\em TRIM} Ergebnissen werden besprochen.
18 Das Kapitel schliesst mit dem Test der verwendeten Zufallszahlen und dem Ablaufschema der Simulation.
20 \section{Annahmen der Simulation}
22 \subsection{Unterteilung des Targets}
23 \label{subsection:unterteilung}
25 Wie in Abbildung \ref{img:sim_gitter} zu sehen ist, wird das Target in W"urfel mit Seitenl"ange $a = 3 nm$ zerlegt.
27 \includegraphics[width=12cm]{gitter_oZ.eps}
28 \caption{Unterteilung des Targets in W"urfel mit $3 nm$ Kantenl"ange. Jedes Volumen ist entwerder amorph (rot) oder kristallin (blau) und protokolliert die lokale Kohelnstoffkonzentration}
29 \label{img:sim_gitter}
31 Die Anzahl der W"urfel in $x$, $y$ und $z$ Richtung sind frei einstellbar.
32 Ein solches Volumen kann durch den Ortsvektor $\vec{r}(k,l,m)$, wobei $k$, $l$ und $m$ ganze Zahlen sind, addressiert werden.
33 Jeder W"urfel hat entweder den Zustand amorph (rot) oder ist kristallin (blau).
34 Die lokale Anzahl der implantierten Kohlenstoffatome wird ebenfalls protokolliert.
36 \subsection{Amorphisierung und Rekristallisation}
37 \label{subsection:a_and_r}
39 Nach dem in Kapitel \ref{chapter:modell} vorgestellten Modell gibt es drei zur Amorphisierung beitragende Mechanismen.
40 Eine lokale Wahrscheinlichkeit f"ur die Aamorphisierung $p_{c \rightarrow a}$ eines beliebigen kristallinen Volumens $\vec{r}$ setzt sich aus den drei Einzelwahrscheinlichkeiten f"ur die
42 \item \textcolor[rgb]{0,1,1}{ballistische}
43 \item \textcolor{red}{kohlenstoffinduzierte}
44 \item \textcolor[rgb]{0.5,0.25,0.12}{spannungsinduzierte}
46 Amorphisierung zusammen.
47 Sie wird wie folgt berechnet:
49 p_{c \rightarrow a}(\vec r) = \textcolor[rgb]{0,1,1}{p_{b}} + \textcolor{red}{p_{c} \, c_{Kohlenstoff}(\vec r)} + \textcolor[rgb]{0.5,0.25,0.12}{\sum_{amorphe \, Nachbarn} \frac{p_{s} \, c_{Kohlenstoff}(\vec{r'})}{(\vec r - \vec{r'})^2}}
53 Die ballistische Amorphisierung besteht nur aus der Konstanten $p_b$.
54 Sie ist unabh"angig vom Ort und somit ein konstanter Beitrag f"ur jedes Volumen.
55 Sie hat keine Einheit.
56 Wieso dieser Beitrag in dieser Art sinnvoll ist, wird in Abschnitt \ref{subsection:parse_trim_coll} gekl"art.
58 Die Wahrscheinlichkeit f"ur die kohlenstoffinduzierte Amorphisierung wird proportional zur lokalen Kohlenstoffkonzentration $c_{Kohlenstoff}$ angenommen.
59 $p_c$ ist die dazugeh"orige Proportionalit"atskosntante und hat demnach die Einheit $[p_c] = m^3$.
61 Der Beitrag der Druckspannungen setzt sich aus den einzelnen Beitr"agen amorpher Gebiete in der selben Ebene, da nur diese Spannungen aus"uben, zusammen.
62 Dabei ist der Wahrscheinlichkeitsbeitrag eines amorphen Volumens $\vec{r'}$ auf das Volumen $\vec{r}$ wieder proprtional zur lokalen Kohlenstoffkonzentration in $\vec{r'}$.
63 Dies ist offensichtlich, denn je mehr Kohlenstoff in dem Volumen, das auf Grund der Dichtereduktion in dem amoprhen Gebiet vorhanden ist, desto groesser die ausgehende Spannung auf die Umgebung.
64 Gleichzeitig ist der Beitrag indirekt proportional zum Abstandsquadrat $(\vec r - \vec{r'})^2$, da der Druck (Druck = Kraft pro Fl"ache) quadratisch mit der Entfernung abf"allt.
65 $p_s$ ist wieder Proportionalit"atskonstante und hat somit die Einheit $[p_s] = m^5$.
67 Die Rekristallisationswahrscheinlichkeit amorpher Gebiete $p_{a \rightarrow c}$ sollte sich genau entgegensetzt zu $p_{c \rightarrow a}$ verhalten und wird deshalb als
69 p_{a \rightarrow c}(\vec r) = 1 - p_{c \rightarrow a}(\vec r)
73 Jedoch muss die direkte Nachbarschaft des Volumens ber"ucksichtigt werden.
74 F"ur die Rekristallisation ist Strukturinformation krsitalliner Nachbarschaft notwendig.
75 Mit einer zunehmenden Anzahl von amorphen Nachbarn sollte die Rekristallisationswahrscheinlichkeit also sukzessive abnehmen und ganz verschwinden wenn kein einziger kristalliner Nachabr vorhanden ist.
76 Mit der im Abschnitt \ref{subsection:unterteilung} beschriebenen Unterteilung hat ein Volumen genau sechs Angriffsfl"achen die als Rekristallisationsfront dienen k"onnen.
77 Damit kann man \eqref{eq:p_ac_local} neu schreiben und man erh"alt:
79 p_{a \rightarrow c}(\vec r) = (1 - p_{c \rightarrow a}(\vec r)) \Big(1 - \frac{\sum_{direkte \, Nachbarn} \delta (\vec{r'})}{6} \Big) \, \textrm{,}
84 \delta (\vec r) = \left\{
86 1 & \textrm{wenn Gebiet bei $\vec r$ amorph} \\
93 Die Proportionalit"atskonstanten $p_b$, $p_c$ und $p_s$ sind frei w"ahlbare Simulationsparameter.
94 Es gilt somit einen Satz von Parametern zu finden, der die gr"o"stm"oglichste "Ubereinstimmung von Simulationsergebiss und dem experimentell gefundenen Ergebniss aus Abbildung \ref{img:xtem_img} zeigt.
95 Durch Variation der gefundenen Parameter k"onnen dann die unterschiedlichen Einfl"usse der verschiedenen Amorphisierungsmechanismen untersucht und der Selbstorganisationsprozess verstanden werden.
97 \subsection{Diffusion}
99 Weiterhin sieht das Modell die M"oglichkeit der Diffusion von Kohelnstoff aus kristallinen in umliegende amorphe Volumina vor.
100 Die Diffusion wird durch zwei weitere Parameter beschrieben.
101 In Zeitintervallen $T_{Diff}$ wird ein Anteil $d_r$ des Kohlenstoffs eines kristallinen Volumens in das benachbarte amorphe Volumen transferiert.
102 Da von einem konstanten Strahlstrom ausgegangen wird, kann die Zeit $T_{Diff}$ auf eine Anzahl von implantierten Ionen $d_v$ abgebildet werden.
103 Die Diffusion des Kohlenstoffs von amorphe in kristalline Gebiete wird also durch die zwei Parameter $d_r$ und $d_v$ gesteuert.
104 Die Parameter sind ebenfalls frei w"ahlbar.
105 Diffusion innerhalb kristalliner Gebiete sowie Diffusion innerhalb amorpher Gebiete wird ausgeschlossen.
107 \subsection{Sputtern}
109 Es wird von einer, "uber der Oberfl"ache gleichm"assig verteilten und w"ahrend des Implantationsvorgangs konstanten Sputterrate ausgegangen.
110 Auf Grund der Unterteilung des Targets in W"urfel mit Seitenl"ange $3 nm$ muss diese Sputterrate in der Dosis, welche $3 nm$ sputtert, angegeben werden.
111 Jedesmal, nachdem das Programm diese Dosis durchlaufen hat, wird die Sputter-Routine aufgerufen, welche die oberste Targetebene abtr"agt.
113 \section{Auswertung von {\em TRIM} Ergebnissen}
115 Da bereits Programme wie {\em TRIM} die Wechelswirkung der Ionen mit dem Target simulieren und somit ein geeignetes Bremskraft- und Implantationsprofil sowie eine genaue Buchf"uhrung "uber die Sto"skaskaden bereitstellen, wird auf diese Schritte in der Simulation aus Zeitgr"unden verzichtet.
116 Stattdessen werden die von {\em TRIM} erzeugten Statistiken verwendet.
117 Durch die Abbildung von Zufallszahlen auf die so erhaltenen Verteilungen, k"onnen die eigentlichen physikalischen Abl"aufe sehr schnell und einfach behandelt werden.
118 Im Folgenden wird auf die Ermittlung einiger, f"ur {\em NLSOP} wichtige, Statistiken eingegangen.
120 \subsection{Implantationsprofil und nukleare Bremskraft}
123 \includegraphics[width=12cm]{2pTRIM180C.eps}
124 \caption{Von {\em TRIM} ermittelte Reichweitenverteilung und tiefenabh"angige Bremskr"afte f"ur $180 keV$ $C^+ \rightarrow Si$}
125 \label{img:bk_impl_p}
127 Abbildung \ref{img:bk_impl_p} zeigt die von {\em TRIM} ermittelte nukleare und elektronische Bremskraft sowie das Kohlenstoffkonzentrationsprofil f"ur die in dieser Arbeit verwendeten Parameter.
128 Die gestrichelte Linie markiert das Implantationsmaximum.
129 Sputtereffekte und Abweichungne auf Grund der kontinuierlich ver"anderten Targetzusammensetzung w"ahrend der Hochdosisimplantation werden hier allerdings nicht ber"ucksichtigt.
131 Die Profile werden von {\em TRIM} selbst in seperate Dateien geschrieben.
132 Tauscht man die Kommata (Trennung von Ganzzahl und Kommastelle) durch Punkte aus, so kann {\em NLSOP} diese Dateien auslesen und die Profile extrahieren.
134 \subsection{Durchschnittliche Anzahl der St"o"se der Ionen und Energieabgabe}
135 \label{subsection:parse_trim_coll}
137 Weiterhin legt {\em TRIM} eine Datei Namens {\em COLLISION.TXT} an, in der s"amtliche durch jedes Ion verursachte Sto"skaskaden protokolliert sind.
138 Zu jedem Sto"s sind Koordinaten und Energie"ubertrag angegeben.
139 Mit einem zur {\em NLSOP} Suite geh"orendem Programm kann diese Datei ausgewertet werden.
140 Die Daraus gewonnen Ekenntnisse sollen im Folgenden diskutiert werden.
143 \includegraphics[width=12cm]{trim_coll.eps}
144 \caption{Auf das Maximum 1 skalierte tiefenabh"angige Energieabgabe (blau) und Anzahl der Kollisionen (rot)}
145 \label{img:trim_coll}
147 Abbildung \ref{img:trim_coll} zeigt die Energieabgabe und Anzahl der St"o"se von Ionen und Recoils in Abh"angigkeit der Tiefe.
148 Beide Graphen wurden auf das selbe Maximum skaliert.
149 Man erkennt, dass diese nahezu identisch sind.
150 Die durchschnittliche Energieabgabe durch einen Sto"s ist also ungef"ahr konstant und unabh"angig von der Tiefe.
151 Dies ist der Grund f"ur die Wahl eines konstanten Beitrags der ballistischen Amorphisierung in Abschnitt \ref{subsection:a_and_r}.
152 Jeder Sto"s "ubertr"agt durchschnittlich einen konstanten Energiebetrag im Falle einer Kollision, und tr"agt somit einen konstanten Anteil zur Amoprhisierungswahrscheinlichkeit bei.
154 Desweiteren ist nun die Wahrscheinlichkeit f"ur eine Kollision in einer bestimmten Tiefe bekannt.
155 Sie entspricht der nuklearen Bremskraft.
158 \includegraphics[width=12cm]{trim_nel.eps}
159 \caption{Durch {\em TRIM} berechneter nuklearer Energieverlust f"ur $180 keV$ $C^+ \rightarrow Si$}
162 Zum Vergleich zeigt Abbildung \ref{img:trim_nel} die von {\em TRIM} selbst berechnete nukleare Bremskraft.
163 Wie zu erwarten entspricht sie ungef"ahr dem Verlauf der in Abbildung \ref{img:trim_coll} gezeigten Energieabgab.
164 Der Unterschied liegt daran, dass letzteres Profil durch eine gr"ossere Anzahl von {\em TRIM}-Simulationsschritten ermittelt wurde.
165 Dieses Profil wird f"ur {\em NLSOP} benutzt.
167 Ein implantiertes Ion und dadurch entstandene Recoils verursachen jedoch mehr als nur eine Kollision mit den Targetatomen bis es zur Ruhe kommt.
168 Nach dem Auswertungsprogramm hat ein Ion durchschnittlich eine Anzahl von $1088$ Kollisionen bei den gegebenen Bedingungen zur Folge.
169 Die Zahl der getroffenen W"urfel, also Volumina in denen ein Ion mindestens eine Kollision verursacht, ist sehr viel geringer.
170 Das Auswertungsprogramm z"ahlt durchschnittlich $75$ getroffene Volumina pro implantierten Ion.
171 Genauer gesagt z"ahlt das Programm die Anzahl der Ebenen mit $3 nm$ H"ohe in denen Kollisionen verursacht werden.
172 Teilchenbahnen parallel zur Targetoberfl"ache verf"alschen diese Zahl also.
173 Ausserdem werden mehrmalige Durchl"aufe der Ebenen nicht mitgez"ahlt.
174 Man sollte weiterhin beachten, dass Volumina in denen selbst nur eine Kollision stattfindet mitgez"ahlt werden, was allerdings nur sehr unwahrscheinlich zur Amorphisierung f"uhren wird.
175 Daher wird eine Trefferzahl von $h=100$ f"ur die Simulation angenommen.
177 \section{Simulationsalgorithmus}
179 Die Simulation kann in drei Abschnitte geliedert werden.
180 Die beschriebenen Prozeduren werden sequentiell abgearbeitet und beliebig oft durchlaufen.
182 Wenn pro Durchlauf die Anzahl der simulierten Sto"skaskaden gleich der Anzahl der getroffenen Volumina ist, entspricht ein Durchlauf genau einem implantierten Ion.
183 Im Folgenden sei die Anzahl der W"urfel in $x$, $y$ und $z$ Richtung $X$, $Y$ und $Z$.
184 Eine Anzahl von $N$ Durchl"aufen ist damit "aquivalent zur Dosis $D$, die wie folgt gegeben ist:
186 D = \frac{N}{XY(3 nm)^2} \, \textrm{.}
189 Es wird mit einem komplett kristallinen und kohlenstofffreien Target gestartet.
191 \subsection{Amorphisierung und Rekristallisation}
193 Im ersten Schritt sollen die Kollisionen und die daraus resultierende Amorphisierung beziehungsweise Rekristallisation simuliert werden.
194 Zun"achst muss das gestossene Volumen ausgew"ahlt werden.
195 Die St"o"se sind bez"uglich der $x$ und $y$ Richtung statistisch isotrop verteilt.
196 Zun"achst werden zwei gleichverteilte Zufallszahlen $r_1 \in [0,X[$ und $r_2 \in [0,Y[$ nach \eqref{eq:gleichverteilte_r} ausgew"urfelt.
197 Diese werden auf die ganzen Zahlen $k$ und $l$ abgebildet und bestimmen die Lage des getroffenen Volumens in der $x,y$-Ebene.
198 Eine weitere, mit Hilfe der Verwerfungsmethode aus Abschnitt \ref{subsubsection:verwerf_meth} erzeugte Zufallszahl $r_3 \in [0,Z[$ entsprechend der nuklearen Bremskraft, abgebildet auf die ganze Zahl $m$, legt die Tiefe des getroffenen Volumens fest.
199 Somit hat man den Otrsvektor $\vec{r}(k,l,m)$ f"ur den Amorphisierungs- oder Rekristallisationsvorgang festgelegt.
200 Nun kann die Amorphisierungs- beziehungsweise Rekristallisationswahrscheinlichkeit nach \eqref{eq:p_ca_local} beziehungsweise \eqref{eq:p_ac_genau} berechnet werden.
201 Eine weiter Zufallszahl $r_4 \in [0,1[$ entscheidet dann "uber einen eventuellen Statuswechsel des Volumens.
202 Es gibt folgende M"oglichkeiten:
204 \item Volumen $\vec{r}(k,l,m)$ ist kristallin.\\
205 Wenn $r_4$ kleiner gleich $p_{c \rightarrow a}$ ist, wechselt der Status zu Amorph.
206 Ansonsten bleibt der Status unver"andert.
207 \item Volumen $\vec{r}(k,l,m)$ ist amorph.\\
208 Wenn $r_4$ kleiner gleich $p_{a \rightarrow c}$ ist, wechselt der Status zu Kristallin.
209 Ansonsten bleibt der Status unver"andert.
212 Der Amorphisierungs- und Rekristallisationsschritt wird f"ur die Anzahl der getroffenen Volumina pro implantierten Ion $h$ wiederholt.
214 \subsection{Einbau des implantierten Kohlenstoffs ins Target}
216 Nachdem das Ion die Sto"sprozesse beendet hat, kommt es im Target zur Ruhe.
217 Die Wahl des Volumens in dem das passiert ist analog zur Wahl des getroffenen Volumens.
218 Jedoch wird die Tiefe durch eine Zufallszahl, deren Wahrscheinlichkeitsverteilung der Reichweitenverteilung entspricht, bestimmt.
219 Zur Erzeugung der Zufallszahl wird wieder die in \ref{subsubsection:verwerf_meth} beschriebene Verwerfungsmethode benutzt.
221 In dem ausgew"ahlten W"urfel $\vec{r}(k,l,m)$ wird der Z"ahler f"ur den Kohlenstoff um eins erh"oht.
223 \subsection{Diffusion und Sputtern}
225 \section{Simulierte Tiefenbereiche}
227 \section{Test der Zufallszahlen}
229 \section{Ablaufschema}