nlsop/diplom/simulation.tex

   1 \chapter{Simulation}
   2 \label{chapter:simulation}
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   4   Im Folgenden soll die Implementation der Monte-Carlo-Simulation nach dem vorangegangen Modell diskutiert werden.
   5   Die Simulation tr"agt den Namen \linebreak[4] {\em NLSOP}, was f"ur die Schlagw"orter {\bf N}ano, {\bf L}amellar und {\bf S}elbst{\bf O}ragnisations-{\bf P}rozess steht.
   6   Ziel der Simulation ist die Validierung des Modells anhand der experimentellen Ergebnisse, wie sie in Abbildung \ref{img:xtem_img} vorliegen.
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   8   Es wurden zwei Versionen der Simulation erstellt, die unterschiedliche Tiefenbereiche abdecken.
   9   Die erste Version beschreibt den Bereich von der Oberfl"ache des Targets bis zum Beginn der durchgehenden amorphen $SiC_x$-Schicht, also den Tiefenbereich von $0$ bis $300 nm$.
  10   Nachdem eine Beschreibung der Bildung lamellarer amorpher Ausscheidungen mit dieser Version sehr gut funktioniert hat, wurde eine zweite Version entwickelt, die den gesamten Implantationsbereich betrachtet.
  11   Auf weitere Unterschiede in den zwei Versionen wird in einem gesonderten Abschnitt genauer eingegangen.
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  13   Der grobe Ablauf der Simulation ist wie folgt.
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  15   Im Folgenden werden der Simulationsalgorithmus und die dazu ben"otigten Annahmen besprochen.
  16   Ein weiterer Abschnitt besch"aftigt sich mit der Extraktion von, f"ur die Simulation notwendigen Informationen aus {\em TRIM}-Ergebnissen.
  17   Das Kapitel schlie"st mit dem Test der verwendeten Zufallszahlen.
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  19   \section{Annahmen der Simulation}
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  21     \subsection{Unterteilung des Targets}
  22     \label{subsection:unterteilung}
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  24     Wie in Abbildung \ref{img:sim_gitter} zu sehen ist, wird das Target in W"urfel mit der Seitenl"ange $a = 3 nm$ zerlegt.
  25     \begin{figure}[h]
  26     \includegraphics[width=12cm]{gitter_oZ.eps}
  27     \caption{Unterteilung des Targets in W"urfel mit $3 nm$ Kantenl"ange. Jedes Volumen ist entwerder amorph (rot) oder kristallin (blau) und protokolliert die lokale Kohlenstoffkonzentration}
  28     \label{img:sim_gitter}
  29     \end{figure}
  30     Die Anzahl der W"urfel in $x$, $y$ und $z$ Richtung sind frei einstellbar.
  31     Ein solches Volumen kann durch den Ortsvektor $\vec{r}(k,l,m)$, wobei $k$, $l$ und $m$ ganze Zahlen sind, addressiert werden.
  32     Jeder W"urfel hat entweder den Zustand amorph (rot), oder ist kristallin (blau).
  33     Die lokale Anzahl der implantierten Kohlenstoffatome wird ebenfalls protokolliert.
  34
  35     Die Ausdehnung des Targets in $x,y$-Richtung ist im Gegensatz zur Tiefe sehr gro"s und kann als unendlich ausgedehnt angenommen werden.
  36     Um die Anzahl der W"urfel in diese Richtungen in der Simulation, aus Gr"unden der Rechenzeit, m"oglichst klein halten zu k"onnen, werden periodische Randbedingungen in der $x,y$-Ebene verwendet.
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  38     \subsection{Amorphisierung und Rekristallisation}
  39     \label{subsection:a_and_r}
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  41     Nach dem in Kapitel \ref{chapter:modell} vorgestellten Modell gibt es drei zur Amorphisierung beitragende Mechanismen.
  42     Eine lokale Wahrscheinlichkeit f"ur die Amorphisierung $p_{c \rightarrow a}$ eines beliebigen kristallinen Volumens $\vec{r}$ setzt sich aus den drei Einzelwahrscheinlichkeiten f"ur die
  43     \begin{itemize}
  44       \item \textcolor[rgb]{0,1,1}{ballistische}
  45       \item \textcolor{red}{kohlenstoffinduzierte}
  46       \item \textcolor[rgb]{0.5,0.25,0.12}{spannungsinduzierte}
  47     \end{itemize}
  48     Amorphisierung zusammen.
  49     Sie wird wie folgt berechnet:
  50     \begin{equation}
  51     p_{c \rightarrow a}(\vec r) = \textcolor[rgb]{0,1,1}{p_{b}} + \textcolor{red}{p_{c} \, c_{Kohlenstoff}(\vec r)} + \textcolor[rgb]{0.5,0.25,0.12}{\sum_{amorphe \, Nachbarn} \frac{p_{s} \, c_{Kohlenstoff}(\vec{r'})}{(\vec r - \vec{r'})^2}}
  52     \label{eq:p_ca_local}
  53     \end{equation}
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  55     Die ballistische Amorphisierung besteht nur aus der Konstanten $p_b$.
  56     Sie ist unabh"angig vom Ort und somit ein konstanter Beitrag f"ur jedes Volumen.
  57     Sie hat keine Einheit.
  58     Wieso dieser Beitrag in dieser Art sinnvoll ist, wird in Abschnitt \ref{subsection:parse_trim_coll} gekl"art.
  59
  60     Die Wahrscheinlichkeit f"ur die kohlenstoffinduzierte Amorphisierung wird proportional zur lokalen Kohlenstoffkonzentration $c_{Kohlenstoff}$ angenommen.
  61     $p_c$ ist die dazugeh"orige Proportionalit"atskonstante und hat demnach die Einheit $[p_c] = m^3$.
  62
  63     Der Beitrag der Druckspannungen setzt sich aus den einzelnen Beitr"agen amorpher Gebiete in der selben Ebene zusammen, da nur diese Spannungen aus"uben.
  64     Dabei ist der Wahrscheinlichkeitsbeitrag eines amorphen Volumens $\vec{r'}$ auf das Volumen $\vec{r}$ wieder proportional zur lokalen Kohlenstoffkonzentration in $\vec{r'}$.
  65     Dies ist offensichtlich, denn je mehr Kohlenstoff in dem Volumen, das auf Grund der Dichtereduktion in dem amorphen Gebiet vorhanden ist, desto gr"o"ser die ausgehende Spannung auf die Umgebung.
  66     Gleichzeitig ist der Beitrag indirekt proportional zum Abstandsquadrat $(\vec r - \vec{r'})^2$, da der Druck (Druck = Kraft pro Fl"ache) quadratisch mit der Entfernung abf"allt.
  67     $p_s$ ist eine Proportionalit"atskonstante und hat somit die Einheit $[p_s] = m^5$.
  68
  69     Die Rekristallisationswahrscheinlichkeit amorpher Gebiete $p_{a \rightarrow c}$ sollte sich genau entgegensetzt zu $p_{c \rightarrow a}$ verhalten und wird deshalb als
  70     \begin{equation}
  71     p_{a \rightarrow c}(\vec r) = 1 - p_{c \rightarrow a}(\vec r)
  72     \label{eq:p_ac_local}
  73     \end{equation}
  74     angenommen.
  75     Jedoch muss die direkte Nachbarschaft des Volumens ber"ucksichtigt werden.
  76     F"ur die Rekristallisation ist die Strukturinformation der kristallinen Nachbarschaft notwendig.
  77     Mit einer zunehmenden Anzahl von amorphen Nachbarn sollte die Rekristallisationswahrscheinlichkeit also sukzessive abnehmen und ganz verschwinden, wenn kein einziger kristalliner Nachabr vorhanden ist.
  78     Mit der im Abschnitt \ref{subsection:unterteilung} beschriebenen Unterteilung hat ein Volumen genau sechs Angriffsfl"achen die als Rekristallisationsfront dienen k"onnen.
  79     Damit kann man \eqref{eq:p_ac_local} neu schreiben und man erh"alt:
  80     \begin{equation}
  81     p_{a \rightarrow c}(\vec r) = (1 - p_{c \rightarrow a}(\vec r)) \Big(1 - \frac{\sum_{direkte \, Nachbarn} \delta (\vec{r'})}{6} \Big) \, \textrm{,}
  82     \label{eq:p_ac_genau}
  83     \end{equation}
  84     mit
  85     \begin{equation}
  86     \delta (\vec r) = \left\{
  87     \begin{array}{ll}
  88       1 & \textrm{wenn Gebiet bei $\vec r$ amorph} \\
  89       0 & \textrm{sonst} \\
  90     \end{array}
  91     \right.
  92     \label{eq:dedltafunc}
  93     \end{equation}
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  95     Die Proportionalit"atskonstanten $p_b$, $p_c$ und $p_s$ sind frei w"ahlbare Simulationsparameter.
  96     Es gilt somit einen Satz von Parametern zu finden, der die gr"o"stm"oglichste "Ubereinstimmung von Simulationsergebniss und dem experimentell gefundenen Ergebniss aus Abbildung \ref{img:xtem_img} zeigt.
  97     Durch Variation der gefundenen Parameter k"onnen dann die unterschiedlichen Einfl"usse der verschiedenen Amorphisierungsmechanismen untersucht und der Selbstorganisationsprozess verstanden werden.
  98
  99     \subsection{Diffusion}
 100
 101     Weiterhin sieht das Modell die M"oglichkeit der Diffusion von Kohlenstoff aus kristallinen in umliegende amorphe Volumina vor.
 102     Die Diffusion wird durch zwei weitere Parameter beschrieben.
 103     In Zeitintervallen $T_{Diff}$ wird ein Anteil $d_r$ des Kohlenstoffs eines kristallinen Volumens in das benachbarte amorphe Volumen transferiert.
 104     Da von einem konstanten Strahlstrom ausgegangen wird, kann die Zeit $T_{Diff}$ auf eine Anzahl von implantierten Ionen $d_v$ abgebildet werden.
 105     Die Diffusion des Kohlenstoffs von amorphe in kristalline Gebiete wird also durch die zwei Parameter $d_r$ und $d_v$ gesteuert.
 106     Die Parameter sind ebenfalls frei w"ahlbar.
 107     Diffusion innerhalb kristalliner Gebiete sowie Diffusion innerhalb amorpher Gebiete wird ausgeschlossen.
 108
 109     Prinzipiell sollte man den Kohlenstoff"ubertrag abh"angig von dem bereits vorhandenen Kohlenstoff in dem amorphen Volumen bestimmen.
 110     Da die implantierte Dosis maximal die St"ochiometriedosis und der Parameter $d_r$ gro"s genug gew"ahlt ist, kommt es nicht zur "Ubers"attigung.
 111     Da die S"attigungsgrenze in der kristallinen Struktur sehr viel niedriger ist, wird der Kohlenstoff immer bestrebt sein von dem kristallinen Bereich in die amorphen Gebiete zu diffundieren.
 112
 113     \subsection{Sputtern}
 114
 115     Es wird von einer, "uber der Oberfl"ache gleichm"assig verteilten und w"ahrend des Implantationsvorgangs konstanten Sputterrate ausgegangen.
 116     Auf Grund der Unterteilung des Targets in W"urfel mit Seitenl"ange $3 nm$ muss diese Sputterrate in der Dosis, welche $3 nm$ sputtert, angegeben werden.
 117     Jedesmal, nachdem das Programm diese Dosis durchlaufen hat, wird die Sputter-Routine aufgerufen, welche die oberste Targetebene abtr"agt.
 118
 119   \section{Auswertung von {\em TRIM} Ergebnissen}
 120
 121   Da bereits Programme wie {\em TRIM} die Wechelswirkung der Ionen mit dem Target simulieren und somit ein geeignetes Bremskraft- und Implantationsprofil, sowie eine genaue Buchf"uhrung "uber die Sto"skaskaden bereitstellen, wird auf diese Schritte in der Simulation aus Zeitgr"unden verzichtet.
 122   Stattdessen werden die von {\em TRIM} erzeugten Statistiken verwendet.
 123   Durch die Abbildung von Zufallszahlen auf die so erhaltenen Verteilungen, k"onnen die eigentlichen physikalischen Abl"aufe sehr schnell und einfach behandelt werden.
 124   Im Folgenden wird auf die Ermittlung einiger, f"ur {\em NLSOP}  wichtige Statistiken eingegangen.
 125
 126     \subsection{Implantationsprofil und nukleare Bremskraft}
 127
 128     \begin{figure}[h]
 129     \includegraphics[width=12cm]{2pTRIM180C.eps}
 130     \caption{Von {\em TRIM} ermittelte Reichweitenverteilung und tiefenabh"angige Bremskr"afte f"ur $180 keV$ $C^+ \rightarrow Si$}
 131     \label{img:bk_impl_p}
 132     \end{figure}
 133     Abbildung \ref{img:bk_impl_p} zeigt die von {\em TRIM} ermittelte nukleare und elektronische Bremskraft sowie das Kohlenstoffkonzentrationsprofil f"ur die in dieser Arbeit verwendeten Parameter.
 134     Die gestrichelte Linie markiert das Implantationsmaximum.
 135     Sputtereffekte und Abweichungen auf Grund der kontinuierlich ver"anderten Targetzusammensetzung w"ahrend der Hochdosisimplantation, werden hier allerdings nicht ber"ucksichtigt.
 136
 137     Die Profile werden von {\em TRIM} selbst in seperate Dateien geschrieben.
 138     Tauscht man die Kommata (Trennung von Ganzzahl und Kommastelle) durch Punkte aus, so kann {\em NLSOP} diese Dateien auslesen und die Profile extrahieren.
 139
 140     \subsection{Durchschnittliche Anzahl der St"o"se der Ionen und Energieabgabe}
 141     \label{subsection:parse_trim_coll}
 142
 143     Weiterhin legt {\em TRIM} eine Datei Namens {\em COLLISION.TXT} an, in der s"amtliche, durch jedes Ion verursachte Sto"skaskaden protokolliert sind.
 144     Zu jedem Sto"s sind Koordinaten und Energie"ubertrag angegeben.
 145     Mit einem zur {\em NLSOP} Suite geh"orendem Programm kann diese Datei ausgewertet werden.
 146     Die daraus gewonnen Erkenntnisse sollen im Folgenden diskutiert werden.
 147
 148     \begin{figure}[h]
 149     \includegraphics[width=12cm]{trim_coll.eps}
 150     \caption{Auf das Maximum 1 skalierte tiefenabh"angige Energieabgabe (blau) und Anzahl der Kollisionen (rot)}
 151     \label{img:trim_coll}
 152     \end{figure}
 153     Abbildung \ref{img:trim_coll} zeigt die Energieabgabe und Anzahl der St"o"se von Ionen und Recoils in Abh"angigkeit der Tiefe.
 154     Beide Graphen wurden auf das selbe Maximum skaliert.
 155     Man erkennt, dass diese nahezu identisch sind.
 156     Die durchschnittliche Energieabgabe durch einen Sto"s ist also ungef"ahr konstant und unabh"angig von der Tiefe.
 157     Dies ist der Grund f"ur die Wahl eines konstanten Beitrags der ballistischen Amorphisierung in Abschnitt \ref{subsection:a_and_r}.
 158     Jeder Sto"s "ubertr"agt durchschnittlich einen konstanten Energiebetrag im Falle einer Kollision, und tr"agt somit einen konstanten Anteil zur Amorphisierungswahrscheinlichkeit bei.
 159
 160     Desweiteren ist nun die Wahrscheinlichkeit f"ur eine Kollision in einer bestimmten Tiefe bekannt.
 161     Sie entspricht der nuklearen Bremskraft.
 162
 163     \begin{figure}[h]
 164     \includegraphics[width=12cm]{trim_nel.eps}
 165     \caption{Durch {\em TRIM} berechneter nuklearer Energieverlust f"ur $180 keV$ $C^+ \rightarrow Si$.}
 166     \label{img:trim_nel}
 167     \end{figure}
 168     Zum Vergleich zeigt Abbildung \ref{img:trim_nel} die von {\em TRIM} selbst berechnete nukleare Bremskraft.
 169     Wie zu erwarten entspricht sie ungef"ahr dem Verlauf der in Abbildung \ref{img:trim_coll} gezeigten Energieabgabe.
 170     Dieses Profil wird f"ur {\em NLSOP} benutzt.
 171
 172     \begin{figure}[h]
 173     \includegraphics[width=12cm]{trim_impl.eps}
 174     \caption{Durch {\em TRIM} berechnetes Implantationsprofil f"ur $180 keV$ $C^+ \rightarrow Si$.}
 175     \label{img:trim_impl}
 176     \end{figure}
 177     In Abbildung \ref{img:trim_impl} ist das f"ur diese Simulation verwendete, von {\em TRIM} berechnete Implantationsprofil abgebildet.
 178     Es wurde aus der selben Rechnung wie das nukleare Bremskraftprofil gewonnen.
 179     Das Implantationsmaximum liegt bei ungef"ahr $530 nm$.
 180
 181     Ein implantiertes Ion und dadurch entstandene Recoils verursachen jedoch mehr als nur eine Kollision mit den Targetatomen bis es zur Ruhe kommt.
 182     Nach dem Auswertungsprogramm hat ein Ion durchschnittlich eine Anzahl von $1088$ Kollisionen bei den gegebenen Bedingungen zur Folge.
 183     Die Zahl der getroffenen W"urfel, also Volumina in denen ein Ion mindestens eine Kollision verursacht, ist sehr viel geringer.
 184     Das Auswertungsprogramm z"ahlt durchschnittlich $75$ getroffene Volumina pro implantierten Ion.
 185     Genauer gesagt z"ahlt das Programm die Anzahl der Ebenen mit $3 nm$ H"ohe in denen Kollisionen verursacht werden.
 186     Teilchenbahnen parallel zur Targetoberfl"ache verf"alschen diese Zahl.
 187     Ausserdem werden mehrmalige Durchl"aufe der Ebenen nicht mitgez"ahlt.
 188     Man sollte weiterhin beachten, dass Volumina in denen selbst nur eine Kollision stattfindet mitgez"ahlt werden, was allerdings nur sehr unwahrscheinlich zur Amorphisierung f"uhren wird.
 189     Daher wird eine Trefferzahl von $h=100$ f"ur die Simulation angenommen.
 190
 191   \section{Simulationsalgorithmus}
 192
 193   Die Simulation kann in drei Abschnitte gegliedert werden.
 194   Die beschriebenen Prozeduren werden sequentiell abgearbeitet und beliebig oft durchlaufen.
 195
 196   Wenn pro Durchlauf die Anzahl der simulierten Sto"skaskaden gleich der Anzahl der getroffenen Volumina ist, entspricht ein Durchlauf genau einem implantierten Ion.
 197   Im Folgenden sei die Anzahl der W"urfel in $x$, $y$ und $z$ Richtung $X$, $Y$ und $Z$.
 198   Eine Anzahl von $N$ Durchl"aufen ist damit "aquivalent zur Dosis $D$, die wie folgt gegeben ist:
 199   \begin{equation}
 200   D = \frac{N}{XY(3 nm)^2} \, \textrm{.}
 201   \label{eq:dose_steps}
 202   \end{equation}
 203
 204   Es wird mit einem komplett kristallinen und kohlenstofffreien Target gestartet.
 205
 206     \subsection{Amorphisierung und Rekristallisation}
 207     \label{subsection:a_r_step}
 208
 209     Im ersten Schritt sollen die Kollisionen und die daraus resultierende Amorphisierung beziehungsweise Rekristallisation simuliert werden.
 210     Zun"achst muss das gesto"sene Volumen ausgew"ahlt werden.
 211     Die St"o"se sind bez"uglich der $x$ und $y$ Richtung statistisch isotrop verteilt.
 212     Es werden zwei gleichverteilte Zufallszahlen $r_1 \in [0,X[$ und $r_2 \in [0,Y[$ nach \eqref{eq:gleichverteilte_r} ausgew"urfelt.
 213     Diese werden auf die ganzen Zahlen $k$ und $l$ abgebildet und bestimmen die Lage des getroffenen Volumens in der $x,y$-Ebene.
 214     Eine weitere, mit Hilfe der Verwerfungsmethode aus Abschnitt \ref{subsubsection:verwerf_meth} erzeugte Zufallszahl $r_3 \in [0,Z[$ entsprechend der nuklearen Bremskraft, abgebildet auf die ganze Zahl $m$, legt die Tiefe des getroffenen Volumens fest.
 215     Somit hat man den Ortsvektor $\vec{r}(k,l,m)$ f"ur den Amorphisierungs- oder Rekristallisationsvorgang festgelegt.
 216     Nun kann die Amorphisierungs- beziehungsweise Rekristallisationswahrscheinlichkeit nach \eqref{eq:p_ca_local} beziehungsweise \eqref{eq:p_ac_genau} berechnet werden.
 217     Eine weitere Zufallszahl $r_4 \in [0,1[$ entscheidet dann "uber einen eventuellen Statuswechsel des Volumens.
 218     Es gibt folgende M"oglichkeiten:
 219     \begin{enumerate}
 220     \item Volumen $\vec{r}(k,l,m)$ ist kristallin.\\
 221           Wenn $r_4$ kleiner gleich $p_{c \rightarrow a}$ ist, wechselt der Status zu amorph.
 222           Ansonsten bleibt der Status unver"andert.
 223     \item Volumen $\vec{r}(k,l,m)$ ist amorph.\\
 224           Wenn $r_4$ kleiner gleich $p_{a \rightarrow c}$ ist, wechselt der Status zu kristallin.
 225           Ansonsten bleibt der Status unver"andert.
 226     \end{enumerate}
 227
 228     Der Amorphisierungs- und Rekristallisationsschritt wird f"ur die Anzahl der getroffenen Volumina pro implantierten Ion $h$ wiederholt.
 229
 230     \subsection{Einbau des implantierten Kohlenstoffs ins Target}
 231
 232     Nachdem das Ion die Sto"sprozesse beendet hat, kommt es im Target zur Ruhe.
 233     Die Wahl des Volumens ist analog zur Wahl der Ermittlung des zu sto"senden Volumens.
 234     Lediglich die Implantationstiefe wird durch eine Zufallszahl bestimmt, deren Wahrscheinlichkeitsverteilung dem Konzentrationsprofil entspricht.
 235     Zur Erzeugung der Zufallszahl wird wieder die in \ref{subsubsection:verwerf_meth} beschriebene Verwerfungsmethode benutzt.
 236
 237     In dem ausgew"ahlten W"urfel $\vec{r}(k,l,m)$ wird der Z"ahler f"ur den Kohlenstoff um eins erh"oht.
 238
 239     \subsection{Diffusion und Sputtern}
 240
 241     Im Folgenden wird auf die Realisierung der Diffusion eingegangen.
 242     Die Simulation geht der Reihe nach alle Volumina durch.
 243     Im Falle eines amorphen Volumens werden aus direkt anliegenden kristallinen Volumen der Anteil $d_r$ des Kohlenstoffs abgezogen und zu dem amorphen Volumen addiert.
 244     Da nur ganze Atome "ubertragen werden k"onnen, wird der Betrag auf die n"achst kleinere ganze Zahl abgerundet.
 245     Dieser Diffusionsvorgang wird alle $d_v$ Schritte ausgef"uhrt.
 246
 247     Die Sputter-Routine wird nach der Dosis, die einem Abtrag von $3 nm$ entspricht ausgef"uhrt.
 248     Der Zusammenhang zwischen Sputterrate $S$ und Anzahl der Simulationsdurchl"aufe $n$ ist demnach wie folgt gegeben:
 249     \begin{equation}
 250     S = \frac{(3 nm)^3 XY }{n} \quad \textrm{.}
 251     \end{equation}
 252     Nach $n$ Simulationsdurchl"aufen wird eine kohlenstofffreie, kristalline Ebene von unten her eingeschoben.
 253     Der Inhalt der Ebene $i$ wird auf die Ebene $i-1$ (f"ur $i = Z, Z-1, \ldots, 2$) "uberschrieben.
 254     Die Information der obersten Ebene $i=1$ geht dabei verloren.
 255     Diese entspricht der abgetragenen Ebene.
 256     Die Ebene $i=Z$ erh"alt kristallinen Status und die Kohlenstoffkonzentration Null.
 257
 258     Dies macht allerdings nur Sinn, wenn das Implantationsprofil und die nukleare Bremskraft f"ur die Ebenen tiefer $Z$ auf Null abgefallen ist, um kristalline, kohlenstofffreie Ebenen zu garantieren.
 259
 260     Die Sputterrate kann durch {\em TRIM} bestimmt werden.
 261     Bei den gegebenen Bedingungen werden ungef"ahr $50 nm$ des Targets bei einer Dosis von $4,3 \times 10^{-17} cm^{-2}$ abgetragen.
 262
 263   \section{Simulierte Tiefenbereiche}
 264   \label{section:sim_tiefenbereich}
 265
 266   Wie bereits erw"ahnt gibt es zwei verschiedene Versionen des Programms. Sie simulieren zwei unterschiedlich gro"se Tiefenbereiche, welche im Folgenden Simulationsfenster genannt werden.
 267
 268   Da in erster Linie der Selbstorganisationsprozess der lamellaren Ausscheidungen an der vorderen Grenzfl"ache der amorphen $SiC_x$-Schicht simuliert werden soll, ist der Tiefenbereich der ersten Version gerade bis zum Beginn der durchgehenden Schicht.
 269   Dies entspricht einer Tiefe von ungef"ahr $300 nm$, und somit einer Anzahl von $Z=100$ W"urfeln in $z$-Richtung.
 270
 271   Wie in \ref{img:bk_impl_p} gut zu erkennen ist, kann in diesem Tiefenbereich sowohl die Reichweitenverteilung, als auch die nukleare Bremskraft durch eine von der Tiefe linear abh"angige Funktion gen"ahert werden.
 272   Daher ergeben sich "Anderungen zu den im vorigen Abschnitt erkl"arten Methoden zur Wahl des Volumens, in dem ein Sto"sprozess beziehungsweise eine Kohlenstofferh"ohung stattfindet.
 273
 274   Die Zufallszahl $z$, die auf die Tiefen-Koordinate $m$ abgebildet wird, muss der Verteilung $p(z)dz = (sz + s_0)dz$ gen"ugen.
 275   Dabei sind $s$ und $s_0$ Simulationsparameter, die die linear gen"aherte nukleare Bremskraft beschreiben.
 276   Die Transformation wird wie in Abschnitt \ref{subsubsection:lin_g_p} beschrieben durchgef"uhrt.
 277   Dasselbe betrifft die Wahl der Tiefen-Koordinate f"ur den Einbau des Kohlenstoffatoms.
 278   Anstatt der Wahrscheinlichkeitsverteilung der nuklearen Bremskraft entsprechend, wird eine Verteilung entsprechend dem  linear gen"aherte Implantationsprofil verwendet.
 279   Ausserdem wird nicht nach jedem Durchlauf ein Ion im Simulationsbereich zur Ruhe kommen.
 280   Da das Maximum der Reichweitenverteilung sehr viel tiefer liegt, werden die meisten Ionen ausserhalb des Simulationsfensters stehen bleiben.
 281   Daher wird immer nur dann ein Ion eingebaut, wenn der im Simulationsbereich vorhandene Kohlenstoff $n_c$ kleiner als die Anzahl der Durchl"aufe $n$ multipliziert mit dem Verh"altnis der Fl"ache der Implantationskurve $I(x)$ bis $300 nm$ zur Fl"ache der gesamten Implantationskurve ist.
 282   \begin{equation}
 283   n_c < n \frac{\int_0^{300 nm} I(x) dx}{\int_0^{\infty} I(x) dx}
 284   \end{equation}
 285
 286   Da sowohl die Reichweitenverteilung, als auch die nukleare Bremskraft in Ebenen gr"osser $Z$ ungleich Null ist, kann Sputtern nicht beachtet werden.
 287   Der Diffusionsprozess ist uneingeschr"ankt "moglich.
 288
 289   Hier sei angemerkt, dass die Simulation prinzipiell auch Diffusion von Kohlenstoff innerhalb kristalliner Volumina behandeln kann.
 290   Die erste Idee war, dass Kohlenstoff in kristalline Gebiete diffundieren kann, die bereits einen grossen Anteil ihres Kohlenstoffs an einen amorphen Nachbarn abgegeben haben.
 291   Da jedoch das Konzentrationsprofil durch Diffusionsprozesse nicht ver"andert werden darf, wurde die rein kristalline Diffusion in $z$-Richtung ausgeschlossen.
 292   Da weiterhin die Implantationsprofile von experimentellen Messungen und {\em TRIM}-Simulationen recht gut "ubereinstimmen, kann Diffusion in $z$-Richtung tats"achlich ausgeschlossen werden.
 293   Eine Vorzugsrichtung der Diffusion ist unphysikalisch, weshalb die Diffusion innerhalb kristalliner Gebiete in weiteren Simulationen ausgeschlossen wurde.
 294   Als Relikt bleibt die Option die Diffusion in $z$-Richtung auszuschalten.
 295
 296   In der zweiten Version wird die gesamte Implantationstiefe simuliert.
 297   Das Simulationsfenster geht von $0-700 nm$.
 298   Dies entspricht einer Anzahl $Z=233$ von W"urfeln in $z$-Richtung.
 299
 300   Die Tiefen-Koordinaten f"ur den Sto"sprozess und die Kohlenstoffinkorporation werden wie in Abschnitt \ref{subsection:a_r_step} beschrieben nach der Verwerfungsmethode entsprechend dem nuklearen Bremskraftprofil und der Reichweitenverteilung gewonnen.
 301
 302    Da sowohl der nukleare Energieverlust und die Kohlenstoffkonzentration in Ebenen gr"osser $Z$ auf Null abgesunken ist, kann die Sputterroutine ausgef"uhrt werden.
 303    Der Diffusionsprozess ist ebenfalls uneingeschr"ankt m"oglich.
 304
 305   \section{Test der Zufallszahlen}
 306
 307   F"ur vern"unftige Ergebnisse muss die Qualit"at der Zufallszahlen gesichert sein.
 308   Es gibt viele statistische Tests eine Zahlenfolge auf ihre Verteilung beziehungsweise Zuf"alligkeit zu "uberpr"ufen.
 309
 310   Im Folgenden soll nur kontrolliert werden, dass f"ur gleichverteilte Zufallszahlen keine lokalen Anh"aufungen von Zahlen existieren.
 311   Desweiteren werden die Methoden zur Erzeugung spezieller Wahrscheinlichkeitsverteilungen durch Vergleich der H"aufigkeit auftretender Zufallszahlen mit dem gew"unschten Verlauf "uberpr"uft.
 312
 313   Dazu werden f"ur die unterschiedlichen Verteilungen jeweils 10 Millionen Zufallszahlen zwischen $0$ und $232$ erzeugt und auf die n"achst kleinere ganze Zahl abgerundet.
 314   Ein einfaches Script-Programm z"ahlt die H"aufigkeit der einzelnen Zufallszahlen in der Zufallszahlensequenz.
 315
 316   \begin{figure}[h]
 317   \includegraphics[width=12cm]{random.eps}
 318   \caption{H"aufigkeit ganzzahliger Zufallszahlen unterschiedlicher Wahrscheinlichkeitsverteilungen. F"ur jede Verteilung wurden 10 Millionen Zufallszahlen ausgew"urfelt.}
 319   \label{img:random_distrib}
 320   \end{figure}
 321   Abbildung \ref{img:random_distrib} zeigt die H"aufigkeit von Zufallszahlen zwischen $0$ und $232$, abgerundet auf die n"achst kleinere ganze Zahl, f"ur unterschiedliche Wahrscheinlichkeitsverteilungen.
 322
 323   Die blauen Punkte zeigen die Gleichverteilung nach \eqref{eq:gleichverteilte_r}.
 324   Man erkennt keine lokalen Anh"aufungen.
 325
 326   Die roten Punkte zeigen die H"aufigkeit der Zufallszahlen bei Verwendung einer linear steigenden Wahrscheinlichkeitsverteilung wie in Abschnitt \ref{subsubsection:lin_g_p} beschrieben.
 327   Dabei wurde $a=1$, $b=0$ und $Z=233$ gew"ahlt.
 328   Wie erwartet zeigen die Punkte einen linearen Verlauf.
 329
 330   Die H"aufigkeiten, der mit der Verwerfungsmethode erzeugten Zufallszahlen entsprechend der nuklearen Bremskraft (gr"un) und dem Implantationsprofil (schwarz), stimmen sehr gut mit den Profilen in Abbildung \ref{img:bk_impl_p} "uberein.
 331
 332   \section{Ablaufschema}
 333
 334   Das Ablaufschema ist aus Platzgr"unden in zwei Teile gegliedert.
 335   Abbildung \ref{img:flowchart1} zeigt das Ablaufschema des Amorphisierungs- und Rekristallisationsvorgangs.
 336   In Abbildung \ref{img:flowchart2} wird der Kohlenstoffeinbau sowie Diffusion und Sputtern behandelt.
 337
 338   \begin{figure}[h]
 339   \begin{pspicture}(0,0)(12,18)
 340
 341     \rput(6,18){\rnode{start}{\psframebox{{\em NLSOP} Start}}}
 342
 343     \rput(6,16){\rnode{random1}{\psframebox{\parbox{7.5cm}{
 344       Ausw"urfeln der Zufallszahlen:\\
 345       $R_1$, $R_2$, $R_3$ entsprechend nuklearer Bremskraft\\
 346       $R_4 \in [0,1[$
 347     }}}}
 348     \ncline[]{->}{start}{random1}
 349
 350     \rput(6,14){\rnode{koord_wahl}{\psframebox{\parbox{7.5cm}{
 351       Bestimmung von $\vec{r}(k,l,m)$ durch Abbildung von $R_1$, $R_2$ und $R_3$ auf $k$, $l$ und $m$
 352     }}}}
 353     \ncline[]{->}{random1}{koord_wahl}
 354
 355     \rput(6,11){\rnode{berechnung_pca}{\psframebox{\parbox{12cm}{
 356       Berechnung von $p_{c \rightarrow a}(\vec{r})$ und $p_{a \rightarrow c}(\vec{r})$:
 357       \[
 358       \begin{array}{lll}
 359       p_{c \rightarrow a}(\vec r) & = & p_{b} + p_{c} \, c_{Kohlenstoff}(\vec r) + \sum_{amorphe \, Nachbarn} \frac{p_{s} \, c_{Kohlenstoff}(\vec{r'})}{(\vec r - \vec{r'})^2} \\
 360       p_{a \rightarrow c}(\vec r) & = & (1 - p_{c \rightarrow a}(\vec r)) \Big(1 - \frac{\sum_{direkte \, Nachbarn} \delta (\vec{r'})}{6} \Big)
 361       \end{array}
 362       \]
 363       \[
 364       \delta (\vec r) = \left\{
 365         \begin{array}{ll}
 366         1 & \textrm{wenn Gebiet bei $\vec r$ amorph} \\
 367         0 & \textrm{sonst} \\
 368         \end{array}
 369       \right.
 370       \]
 371     }}}}
 372     \ncline[]{->}{koord_wahl}{berechnung_pca}
 373
 374     \rput(6,8){\rnode{status}{\psframebox{Volumen $\vec{r}(k,l,m)$ amorph?}}}
 375     \ncline[]{->}{berechnung_pca}{status}
 376
 377     \rput(3,6){\rnode{cryst}{\psframebox[linestyle=solid,linecolor=blue]{$R_4 \le p_{c \rightarrow a}$?}}}
 378     \rput(9,6){\rnode{amorph}{\psframebox[linestyle=solid,linecolor=red]{$R_4 \le p_{a \rightarrow c}$?}}}
 379     \ncline[]{->}{status}{cryst}
 380     \lput*{0}{nein}
 381
 382     \ncline[]{->}{status}{amorph}
 383     \lput*{0}{ja}
 384
 385     \rput(3,4){\rnode{do_amorph}{\psframebox[linestyle=solid,linecolor=red]{Setze Volumen amorph}}}
 386     \ncline[]{->}{cryst}{do_amorph}
 387     \lput*{0}{ja}
 388
 389     \rput(9,4){\rnode{do_cryst}{\psframebox[linestyle=solid,linecolor=blue]{Setze Volumen kristallin}}}
 390     \ncline[]{->}{amorph}{do_cryst}
 391     \lput*{0}{ja}
 392
 393     \rput(6,3){\rnode{check_h}{\psframebox{Anzahl der Durchl"aufe gleich Anzahl der Treffer pro Ion?}}}
 394
 395     \rput(6,6){\pnode{h_2}}
 396     \ncline[]{amorph}{h_2}
 397     \ncline[]{->}{h_2}{check_h}
 398     \lput*{0}{nein}
 399
 400     \rput(6,6){\pnode{h_3}}
 401     \ncline[]{cryst}{h_3}
 402     \ncline[]{->}{h_3}{check_h}
 403     \lput*{0}{nein}
 404
 405     \rput(13,3){\pnode{h_4}}
 406     \rput(13,16){\pnode{h_5}}
 407     \ncline[]{check_h}{h_4}
 408     \ncline[]{h_4}{h_5}
 409     \lput*{0}{nein}
 410     \ncline[]{->}{h_5}{random1}
 411
 412     \ncline[]{->}{do_cryst}{check_h}
 413     \ncline[]{->}{do_amorph}{check_h}
 414
 415     \rput(6,1){\rnode{weiter_1}{\psframebox{$\bigotimes$}}}
 416     \ncline[]{->}{check_h}{weiter_1}
 417     \lput*{0}{ja}
 418
 419   \end{pspicture}
 420   \caption{{\em NLSOP} Ablaufschema Teil 1: Amorphisierung und Rekristallisation.}
 421   \label{img:flowchart1}
 422   \end{figure}
 423
 424   \begin{figure}[h]
 425   \begin{pspicture}(0,0)(12,18)
 426
 427     \rput(6,18){\rnode{weiter_2}{\psframebox{$\bigotimes$}}}
 428
 429     \rput(6,16){\rnode{random2}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=green]{\parbox{7.5cm}{
 430       Ausw"urfeln der Zufallszahlen:\\
 431       $R_5$, $R_6$, $R_7$ entsprechend Reichweitenverteilung
 432     }}}}
 433     \ncline[]{->}{weiter_2}{random2}
 434
 435     \rput(2,14){\rnode{koord_wahl_i}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=green]{\parbox{7cm}{
 436       Bestimmung von $\vec{r}(k,l,m)$ durch Abbildung von $R_5$, $R_6$ und $R_7$ auf $k$, $l$ und $m$
 437     }}}}
 438     \ncbar[angleA=180,angleB=180]{->}{random2}{koord_wahl_i}
 439
 440     \rput(10,14){\rnode{inc_c}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=green]{\parbox{7cm}{
 441       Erh"ohung des Kohlenstoffs im Volumen $\vec{r}(k,l,m)$
 442     }}}}
 443     \ncline[]{->}{koord_wahl_i}{inc_c}
 444
 445     \rput(10,12){\rnode{is_d}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Durchlauf vielfaches von $d_v$?}}}
 446     \ncline[]{->}{inc_c}{is_d}
 447
 448     \rput(2,12){\rnode{is_s}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=red]{Durchlauf vielfaches von $n$?}}}
 449     \ncline[]{->}{is_d}{is_s}
 450     \lput*{0}{nein}
 451
 452     \rput(10,10){\rnode{loop_d}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Gehe alle/verbleibende Volumina durch?}}}
 453     \ncline[]{->}{is_d}{loop_d}
 454     \lput*{0}{ja}
 455
 456     \rput(10,9){\rnode{d_is_amorph}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Volumen $\vec{r}(k,l,m)$ amorph?}}}
 457     \ncline[]{->}{loop_d}{d_is_amorph}
 458
 459     \rput(10,7){\rnode{loop_dn}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{\parbox{4cm}{
 460       Gehe alle/verbleibende\\
 461       direkte Nachbarn durch
 462     }}}}
 463     \ncline[]{->}{d_is_amorph}{loop_dn}
 464     \lput*{0}{ja}
 465
 466     \rput(10,6){\rnode{is_cryst}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Nachbarvolumen kristallin?}}}
 467     \ncline[]{->}{loop_dn}{is_cryst}
 468
 469     \rput(11,4){\rnode{transfer}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{\parbox{3.5cm}{
 470       "Ubertrage den Anteil $d_r$ des Kohlenstoffs
 471     }}}}
 472     \ncline[]{->}{is_cryst}{transfer}
 473     \lput*{0}{ja}
 474
 475     \rput(10,3){\rnode{check_dn}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Alle Nachbarn durch?}}}
 476     \ncline[]{->}{transfer}{check_dn}
 477     \rput(8.5,5){\pnode{h1}}
 478     \ncline[]{is_cryst}{h1}
 479     \rput(8.5,3.2){\pnode{h2}}
 480     \ncline[]{->}{h1}{h2}
 481     \lput*{0}{nein}
 482     \rput(13,3){\pnode{h3}}
 483     \ncline[]{check_dn}{h3}
 484     \rput(13,7){\pnode{h4}}
 485     \ncline[]{h3}{h4}
 486     \lput*{0}{nein}
 487     \ncline[]{->}{h4}{loop_dn}
 488
 489     \rput(10,1){\rnode{check_d}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Alle Volumina durch?}}}
 490     \ncline[]{->}{check_dn}{check_d}
 491     \lput*{0}{ja}
 492     \rput(13.5,1){\pnode{h5}}
 493     \ncline[]{check_d}{h5}
 494     \rput(13.5,10){\pnode{h6}}
 495     \ncline[]{h5}{h6}
 496     \lput*{0}{nein}
 497     \ncline[]{->}{h6}{loop_d}
 498     \rput(6,1){\pnode{h7}}
 499     \ncline[]{check_d}{h7}
 500     \lput*{0}{ja}
 501     \rput(6,11){\pnode{h8}}
 502     \ncline[]{h7}{h8}
 503     \rput(4.4,11.9){\pnode{h9}}
 504     \ncline[]{->}{h8}{h9}
 505
 506     \rput(2,9){\rnode{s_p}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=red]{\parbox{7cm}{
 507       Sputterroutine:\\
 508       \begin{itemize}
 509         \item Kopiere Inhalt von Ebene $i$ nach\\
 510               Ebene $i-1$ f"ur $i = Z,Z-1,\ldots ,2$
 511         \item Setze Status jedes Volumens in Ebene $Z$ kristallin
 512         \item Setze Kohlenstoff jedes Volumens in Ebene $Z$ auf Null
 513       \end{itemize}
 514     }}}}
 515     \ncline[]{->}{is_d}{loop_d}
 516     \lput*{0}{ja}
 517     \ncline[]{->}{is_s}{s_p}
 518
 519     \rput(2,5){\rnode{check_n}{\psframebox{\parbox{4cm}{
 520       Anzahl Durchl"aufe entsprechend Dosis?
 521     }}}}
 522     \ncline[]{->}{s_p}{check_n}
 523
 524     \rput(4,3){\rnode{start}{\psframebox{{\em NLSOP} Start}}}
 525     \ncline[]{->}{check_n}{start}
 526     \lput*{0}{nein}
 527     \rput(0,3){\rnode{stop}{\psframebox{{\em NLSOP} Stop}}}
 528     \ncline[]{->}{check_n}{stop}
 529     \lput*{0}{ja}
 530
 531   \end{pspicture}
 532   \caption{{\em NLSOP} Ablaufschema Teil 2: Kohlenstoffeinbau (gr"un), Diffusion (gelb) und Sputtervorgang (rot).}
 533   \label{img:flowchart2}
 534   \end{figure}
 535