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1 \chapter{Simulation}
2 \label{chapter:simulation}
3
4   Im Folgenden soll die Implementation der Monte-Carlo-Simulation nach dem vorangegangen Modell diskutiert werden.
5   Die Simulation tr"agt den Namen \linebreak[4] {\em NLSOP}, was f"ur die Schlagw"orter {\bf N}ano, {\bf L}amellar und {\bf S}elbst{\bf O}ragnisations-{\bf P}rozess steht.
6   Ziel der Simulation ist die Verifizierung des Modells anhand der experimentellen Ergebnisse, die in Abbildung \ref{img:xtem_img} vorliegen.
7   Die genauen Daten sind:
8   \begin{itemize}
9     \item Energie: $E=180 keV$
10     \item Dosis: $D = 4,3 \times 10^{17} cm^{-2}$
11     \item Temperatur: $T = 150 ^{\circ} \mathrm{C}$
12     \item Implantationswinkel: $\alpha = 7 ^{\circ}$
13     \item Ion/Target Kombination: $C^+ \rightarrow Si (100)$
14   \end{itemize}
15   Anzumerken ist, dass es zwei Versionen der Simulation gibt, die unterschiedliche Tiefenbereiche abdecken.
16   Diese unterscheiden sich in einigen Punkten, was den Simualtionsalgorithmus betrifft.
17   Darauf wird in einem gesonderten Abschnitt genauer eingegangen.
18   Der Simulationsalgorithmus wird erkl"art und die dazu ben"otigten Annahmen und Informationen aus {\em TRIM}-Ergebnissen werden besprochen.
19   Das Kapitel schlie"st mit dem Test der verwendeten Zufallszahlen und dem Ablaufschema der Simulation.
20
21   \section{Annahmen der Simulation}
22
23     \subsection{Unterteilung des Targets}
24     \label{subsection:unterteilung}
25
26     Wie in Abbildung \ref{img:sim_gitter} zu sehen ist, wird das Target in W"urfel mit der Seitenl"ange $a = 3 nm$ zerlegt.
27     \begin{figure}[h]
28     \includegraphics[width=12cm]{gitter_oZ.eps}
29     \caption{Unterteilung des Targets in W"urfel mit $3 nm$ Kantenl"ange. Jedes Volumen ist entwerder amorph (rot) oder kristallin (blau) und protokolliert die lokale Kohlenstoffkonzentration}
30     \label{img:sim_gitter}
31     \end{figure}
32     Die Anzahl der W"urfel in $x$, $y$ und $z$ Richtung sind frei einstellbar.
33     Ein solches Volumen kann durch den Ortsvektor $\vec{r}(k,l,m)$, wobei $k$, $l$ und $m$ ganze Zahlen sind, addressiert werden.
34     Jeder W"urfel hat entweder den Zustand amorph (rot), oder ist kristallin (blau).
35     Die lokale Anzahl der implantierten Kohlenstoffatome wird ebenfalls protokolliert.
36
37     Die Ausdehnung des Targets in $x,y$-Richtung ist im Gegensatz zur Tiefe sehr gro"s und kann als unendlich ausgedehnt angenommen werden.
38     Um die Anzahl der W"urfel in diese Richtungen in der Simulation, aus Gr"unden der Rechenzeit, m"oglichst klein halten zu k"onnen, werden periodische Randbedingungen in der $x,y$-Ebene verwendet.
39
40     \subsection{Amorphisierung und Rekristallisation}
41     \label{subsection:a_and_r}
42
43     Nach dem in Kapitel \ref{chapter:modell} vorgestellten Modell gibt es drei zur Amorphisierung beitragende Mechanismen.
44     Eine lokale Wahrscheinlichkeit f"ur die Amorphisierung $p_{c \rightarrow a}$ eines beliebigen kristallinen Volumens $\vec{r}$ setzt sich aus den drei Einzelwahrscheinlichkeiten f"ur die
45     \begin{itemize}
46       \item \textcolor[rgb]{0,1,1}{ballistische}
47       \item \textcolor{red}{kohlenstoffinduzierte}
48       \item \textcolor[rgb]{0.5,0.25,0.12}{spannungsinduzierte}
49     \end{itemize}
50     Amorphisierung zusammen.
51     Sie wird wie folgt berechnet:
52     \begin{equation}
53     p_{c \rightarrow a}(\vec r) = \textcolor[rgb]{0,1,1}{p_{b}} + \textcolor{red}{p_{c} \, c_{Kohlenstoff}(\vec r)} + \textcolor[rgb]{0.5,0.25,0.12}{\sum_{amorphe \, Nachbarn} \frac{p_{s} \, c_{Kohlenstoff}(\vec{r'})}{(\vec r - \vec{r'})^2}}
54     \label{eq:p_ca_local}
55     \end{equation}
56
57     Die ballistische Amorphisierung besteht nur aus der Konstanten $p_b$.
58     Sie ist unabh"angig vom Ort und somit ein konstanter Beitrag f"ur jedes Volumen.
59     Sie hat keine Einheit.
60     Wieso dieser Beitrag in dieser Art sinnvoll ist, wird in Abschnitt \ref{subsection:parse_trim_coll} gekl"art.
61
62     Die Wahrscheinlichkeit f"ur die kohlenstoffinduzierte Amorphisierung wird proportional zur lokalen Kohlenstoffkonzentration $c_{Kohlenstoff}$ angenommen.
63     $p_c$ ist die dazugeh"orige Proportionalit"atskonstante und hat demnach die Einheit $[p_c] = m^3$.
64
65     Der Beitrag der Druckspannungen setzt sich aus den einzelnen Beitr"agen amorpher Gebiete in der selben Ebene zusammen, da nur diese Spannungen aus"uben.
66     Dabei ist der Wahrscheinlichkeitsbeitrag eines amorphen Volumens $\vec{r'}$ auf das Volumen $\vec{r}$ wieder proportional zur lokalen Kohlenstoffkonzentration in $\vec{r'}$.
67     Dies ist offensichtlich, denn je mehr Kohlenstoff in dem Volumen, das auf Grund der Dichtereduktion in dem amorphen Gebiet vorhanden ist, desto gr"o"ser die ausgehende Spannung auf die Umgebung.
68     Gleichzeitig ist der Beitrag indirekt proportional zum Abstandsquadrat $(\vec r - \vec{r'})^2$, da der Druck (Druck = Kraft pro Fl"ache) quadratisch mit der Entfernung abf"allt.
69     $p_s$ ist eine Proportionalit"atskonstante und hat somit die Einheit $[p_s] = m^5$.
70
71     Die Rekristallisationswahrscheinlichkeit amorpher Gebiete $p_{a \rightarrow c}$ sollte sich genau entgegensetzt zu $p_{c \rightarrow a}$ verhalten und wird deshalb als
72     \begin{equation}
73     p_{a \rightarrow c}(\vec r) = 1 - p_{c \rightarrow a}(\vec r)
74     \label{eq:p_ac_local}
75     \end{equation}
76     angenommen.
77     Jedoch muss die direkte Nachbarschaft des Volumens ber"ucksichtigt werden.
78     F"ur die Rekristallisation ist die Strukturinformation der kristallinen Nachbarschaft notwendig.
79     Mit einer zunehmenden Anzahl von amorphen Nachbarn sollte die Rekristallisationswahrscheinlichkeit also sukzessive abnehmen und ganz verschwinden, wenn kein einziger kristalliner Nachabr vorhanden ist.
80     Mit der im Abschnitt \ref{subsection:unterteilung} beschriebenen Unterteilung hat ein Volumen genau sechs Angriffsfl"achen die als Rekristallisationsfront dienen k"onnen.
81     Damit kann man \eqref{eq:p_ac_local} neu schreiben und man erh"alt:
82     \begin{equation}
83     p_{a \rightarrow c}(\vec r) = (1 - p_{c \rightarrow a}(\vec r)) \Big(1 - \frac{\sum_{direkte \, Nachbarn} \delta (\vec{r'})}{6} \Big) \, \textrm{,}
84     \label{eq:p_ac_genau}
85     \end{equation}
86     mit
87     \begin{equation}
88     \delta (\vec r) = \left\{ 
89     \begin{array}{ll}
90       1 & \textrm{wenn Gebiet bei $\vec r$ amorph} \\
91       0 & \textrm{sonst} \\
92     \end{array}
93     \right.
94     \label{eq:dedltafunc}
95     \end{equation}
96
97     Die Proportionalit"atskonstanten $p_b$, $p_c$ und $p_s$ sind frei w"ahlbare Simulationsparameter.
98     Es gilt somit einen Satz von Parametern zu finden, der die gr"o"stm"oglichste "Ubereinstimmung von Simulationsergebniss und dem experimentell gefundenen Ergebniss aus Abbildung \ref{img:xtem_img} zeigt.
99     Durch Variation der gefundenen Parameter k"onnen dann die unterschiedlichen Einfl"usse der verschiedenen Amorphisierungsmechanismen untersucht und der Selbstorganisationsprozess verstanden werden.
100     
101     \subsection{Diffusion}
102
103     Weiterhin sieht das Modell die M"oglichkeit der Diffusion von Kohlenstoff aus kristallinen in umliegende amorphe Volumina vor.
104     Die Diffusion wird durch zwei weitere Parameter beschrieben.
105     In Zeitintervallen $T_{Diff}$ wird ein Anteil $d_r$ des Kohlenstoffs eines kristallinen Volumens in das benachbarte amorphe Volumen transferiert.
106     Da von einem konstanten Strahlstrom ausgegangen wird, kann die Zeit $T_{Diff}$ auf eine Anzahl von implantierten Ionen $d_v$ abgebildet werden.
107     Die Diffusion des Kohlenstoffs von amorphe in kristalline Gebiete wird also durch die zwei Parameter $d_r$ und $d_v$ gesteuert.
108     Die Parameter sind ebenfalls frei w"ahlbar.
109     Diffusion innerhalb kristalliner Gebiete sowie Diffusion innerhalb amorpher Gebiete wird ausgeschlossen.
110
111     Prinzipiell sollte man den Kohlenstoff"ubertrag abh"angig von dem bereits vorhandenen Kohlenstoff in dem amorphen Volumen bestimmen.
112     Da die implantierte Dosis maximal die St"ochiometriedosis und der Parameter $d_r$ gro"s genug gew"ahlt ist, kommt es nicht zur "Ubers"attigung.
113     Da die S"attigungsgrenze in der kristallinen Struktur sehr viel niedriger ist, wird der Kohlenstoff immer bestrebt sein von dem kristallinen Bereich in die amorphen Gebiete zu diffundieren.
114
115     \subsection{Sputtern}
116
117     Es wird von einer, "uber der Oberfl"ache gleichm"assig verteilten und w"ahrend des Implantationsvorgangs konstanten Sputterrate ausgegangen.
118     Auf Grund der Unterteilung des Targets in W"urfel mit Seitenl"ange $3 nm$ muss diese Sputterrate in der Dosis, welche $3 nm$ sputtert, angegeben werden.
119     Jedesmal, nachdem das Programm diese Dosis durchlaufen hat, wird die Sputter-Routine aufgerufen, welche die oberste Targetebene abtr"agt.
120
121   \section{Auswertung von {\em TRIM} Ergebnissen}
122
123   Da bereits Programme wie {\em TRIM} die Wechelswirkung der Ionen mit dem Target simulieren und somit ein geeignetes Bremskraft- und Implantationsprofil, sowie eine genaue Buchf"uhrung "uber die Sto"skaskaden bereitstellen, wird auf diese Schritte in der Simulation aus Zeitgr"unden verzichtet.
124   Stattdessen werden die von {\em TRIM} erzeugten Statistiken verwendet.
125   Durch die Abbildung von Zufallszahlen auf die so erhaltenen Verteilungen, k"onnen die eigentlichen physikalischen Abl"aufe sehr schnell und einfach behandelt werden.
126   Im Folgenden wird auf die Ermittlung einiger, f"ur {\em NLSOP}  wichtige Statistiken eingegangen.
127
128     \subsection{Implantationsprofil und nukleare Bremskraft}
129
130     \begin{figure}[h]
131     \includegraphics[width=12cm]{2pTRIM180C.eps}
132     \caption{Von {\em TRIM} ermittelte Reichweitenverteilung und tiefenabh"angige Bremskr"afte f"ur $180 keV$ $C^+ \rightarrow Si$}
133     \label{img:bk_impl_p}
134     \end{figure}
135     Abbildung \ref{img:bk_impl_p} zeigt die von {\em TRIM} ermittelte nukleare und elektronische Bremskraft sowie das Kohlenstoffkonzentrationsprofil f"ur die in dieser Arbeit verwendeten Parameter.
136     Die gestrichelte Linie markiert das Implantationsmaximum.
137     Sputtereffekte und Abweichungen auf Grund der kontinuierlich ver"anderten Targetzusammensetzung w"ahrend der Hochdosisimplantation, werden hier allerdings nicht ber"ucksichtigt.
138     
139     Die Profile werden von {\em TRIM} selbst in seperate Dateien geschrieben.
140     Tauscht man die Kommata (Trennung von Ganzzahl und Kommastelle) durch Punkte aus, so kann {\em NLSOP} diese Dateien auslesen und die Profile extrahieren.
141     
142     \subsection{Durchschnittliche Anzahl der St"o"se der Ionen und Energieabgabe}
143     \label{subsection:parse_trim_coll}
144
145     Weiterhin legt {\em TRIM} eine Datei Namens {\em COLLISION.TXT} an, in der s"amtliche, durch jedes Ion verursachte Sto"skaskaden protokolliert sind.
146     Zu jedem Sto"s sind Koordinaten und Energie"ubertrag angegeben.
147     Mit einem zur {\em NLSOP} Suite geh"orendem Programm kann diese Datei ausgewertet werden.
148     Die daraus gewonnen Erkenntnisse sollen im Folgenden diskutiert werden.
149
150     \begin{figure}[h]
151     \includegraphics[width=12cm]{trim_coll.eps}
152     \caption{Auf das Maximum 1 skalierte tiefenabh"angige Energieabgabe (blau) und Anzahl der Kollisionen (rot)}
153     \label{img:trim_coll}
154     \end{figure}
155     Abbildung \ref{img:trim_coll} zeigt die Energieabgabe und Anzahl der St"o"se von Ionen und Recoils in Abh"angigkeit der Tiefe.
156     Beide Graphen wurden auf das selbe Maximum skaliert.
157     Man erkennt, dass diese nahezu identisch sind.
158     Die durchschnittliche Energieabgabe durch einen Sto"s ist also ungef"ahr konstant und unabh"angig von der Tiefe.
159     Dies ist der Grund f"ur die Wahl eines konstanten Beitrags der ballistischen Amorphisierung in Abschnitt \ref{subsection:a_and_r}.
160     Jeder Sto"s "ubertr"agt durchschnittlich einen konstanten Energiebetrag im Falle einer Kollision, und tr"agt somit einen konstanten Anteil zur Amorphisierungswahrscheinlichkeit bei.
161     
162     Desweiteren ist nun die Wahrscheinlichkeit f"ur eine Kollision in einer bestimmten Tiefe bekannt.
163     Sie entspricht der nuklearen Bremskraft.
164
165     \begin{figure}[h]
166     \includegraphics[width=12cm]{trim_nel.eps}
167     \caption{Durch {\em TRIM} berechneter nuklearer Energieverlust f"ur $180 keV$ $C^+ \rightarrow Si$.}
168     \label{img:trim_nel}
169     \end{figure}
170     Zum Vergleich zeigt Abbildung \ref{img:trim_nel} die von {\em TRIM} selbst berechnete nukleare Bremskraft.
171     Wie zu erwarten entspricht sie ungef"ahr dem Verlauf der in Abbildung \ref{img:trim_coll} gezeigten Energieabgabe.
172     Dieses Profil wird f"ur {\em NLSOP} benutzt.
173
174     \begin{figure}[h]
175     \includegraphics[width=12cm]{trim_impl.eps}
176     \caption{Durch {\em TRIM} berechnetes Implantationsprofil f"ur $180 keV$ $C^+ \rightarrow Si$.}
177     \label{img:trim_impl}
178     \end{figure}
179     In Abbildung \ref{img:trim_impl} ist das f"ur diese Simulation verwendete, von {\em TRIM} berechnete Implantationsprofil abgebildet.
180     Es wurde aus der selben Rechnung wie das nukleare Bremskraftprofil gewonnen.
181     Das Implantationsmaximum liegt bei ungef"ahr $530 nm$.
182
183     Ein implantiertes Ion und dadurch entstandene Recoils verursachen jedoch mehr als nur eine Kollision mit den Targetatomen bis es zur Ruhe kommt.
184     Nach dem Auswertungsprogramm hat ein Ion durchschnittlich eine Anzahl von $1088$ Kollisionen bei den gegebenen Bedingungen zur Folge.
185     Die Zahl der getroffenen W"urfel, also Volumina in denen ein Ion mindestens eine Kollision verursacht, ist sehr viel geringer.
186     Das Auswertungsprogramm z"ahlt durchschnittlich $75$ getroffene Volumina pro implantierten Ion.
187     Genauer gesagt z"ahlt das Programm die Anzahl der Ebenen mit $3 nm$ H"ohe in denen Kollisionen verursacht werden.
188     Teilchenbahnen parallel zur Targetoberfl"ache verf"alschen diese Zahl.
189     Ausserdem werden mehrmalige Durchl"aufe der Ebenen nicht mitgez"ahlt.
190     Man sollte weiterhin beachten, dass Volumina in denen selbst nur eine Kollision stattfindet mitgez"ahlt werden, was allerdings nur sehr unwahrscheinlich zur Amorphisierung f"uhren wird.
191     Daher wird eine Trefferzahl von $h=100$ f"ur die Simulation angenommen.
192
193   \section{Simulationsalgorithmus}
194
195   Die Simulation kann in drei Abschnitte gegliedert werden.
196   Die beschriebenen Prozeduren werden sequentiell abgearbeitet und beliebig oft durchlaufen.
197
198   Wenn pro Durchlauf die Anzahl der simulierten Sto"skaskaden gleich der Anzahl der getroffenen Volumina ist, entspricht ein Durchlauf genau einem implantierten Ion.
199   Im Folgenden sei die Anzahl der W"urfel in $x$, $y$ und $z$ Richtung $X$, $Y$ und $Z$.
200   Eine Anzahl von $N$ Durchl"aufen ist damit "aquivalent zur Dosis $D$, die wie folgt gegeben ist:
201   \begin{equation}
202   D = \frac{N}{XY(3 nm)^2} \, \textrm{.}
203   \label{eq:dose_steps}
204   \end{equation}
205
206   Es wird mit einem komplett kristallinen und kohlenstofffreien Target gestartet.
207
208     \subsection{Amorphisierung und Rekristallisation}
209     \label{subsection:a_r_step}
210
211     Im ersten Schritt sollen die Kollisionen und die daraus resultierende Amorphisierung beziehungsweise Rekristallisation simuliert werden.
212     Zun"achst muss das gesto"sene Volumen ausgew"ahlt werden.
213     Die St"o"se sind bez"uglich der $x$ und $y$ Richtung statistisch isotrop verteilt.
214     Es werden zwei gleichverteilte Zufallszahlen $r_1 \in [0,X[$ und $r_2 \in [0,Y[$ nach \eqref{eq:gleichverteilte_r} ausgew"urfelt.
215     Diese werden auf die ganzen Zahlen $k$ und $l$ abgebildet und bestimmen die Lage des getroffenen Volumens in der $x,y$-Ebene.
216     Eine weitere, mit Hilfe der Verwerfungsmethode aus Abschnitt \ref{subsubsection:verwerf_meth} erzeugte Zufallszahl $r_3 \in [0,Z[$ entsprechend der nuklearen Bremskraft, abgebildet auf die ganze Zahl $m$, legt die Tiefe des getroffenen Volumens fest.
217     Somit hat man den Ortsvektor $\vec{r}(k,l,m)$ f"ur den Amorphisierungs- oder Rekristallisationsvorgang festgelegt.
218     Nun kann die Amorphisierungs- beziehungsweise Rekristallisationswahrscheinlichkeit nach \eqref{eq:p_ca_local} beziehungsweise \eqref{eq:p_ac_genau} berechnet werden.
219     Eine weitere Zufallszahl $r_4 \in [0,1[$ entscheidet dann "uber einen eventuellen Statuswechsel des Volumens.
220     Es gibt folgende M"oglichkeiten:
221     \begin{enumerate}
222     \item Volumen $\vec{r}(k,l,m)$ ist kristallin.\\
223           Wenn $r_4$ kleiner gleich $p_{c \rightarrow a}$ ist, wechselt der Status zu amorph.
224           Ansonsten bleibt der Status unver"andert.
225     \item Volumen $\vec{r}(k,l,m)$ ist amorph.\\
226           Wenn $r_4$ kleiner gleich $p_{a \rightarrow c}$ ist, wechselt der Status zu kristallin.
227           Ansonsten bleibt der Status unver"andert.
228     \end{enumerate}
229
230     Der Amorphisierungs- und Rekristallisationsschritt wird f"ur die Anzahl der getroffenen Volumina pro implantierten Ion $h$ wiederholt.
231
232     \subsection{Einbau des implantierten Kohlenstoffs ins Target}
233
234     Nachdem das Ion die Sto"sprozesse beendet hat, kommt es im Target zur Ruhe.
235     Die Wahl des Volumens ist analog zur Wahl der Ermittlung des zu sto"senden Volumens.
236     Lediglich die Implantationstiefe wird durch eine Zufallszahl bestimmt, deren Wahrscheinlichkeitsverteilung dem Konzentrationsprofil entspricht.
237     Zur Erzeugung der Zufallszahl wird wieder die in \ref{subsubsection:verwerf_meth} beschriebene Verwerfungsmethode benutzt.
238
239     In dem ausgew"ahlten W"urfel $\vec{r}(k,l,m)$ wird der Z"ahler f"ur den Kohlenstoff um eins erh"oht.
240
241     \subsection{Diffusion und Sputtern}
242
243     Im Folgenden wird auf die Realisierung der Diffusion eingegangen.
244     Die Simulation geht der Reihe nach alle Volumina durch.
245     Im Falle eines amorphen Volumens werden aus direkt anliegenden kristallinen Volumen der Anteil $d_r$ des Kohlenstoffs abgezogen und zu dem amorphen Volumen addiert.
246     Da nur ganze Atome "ubertragen werden k"onnen, wird der Betrag auf die n"achst kleinere ganze Zahl abgerundet.
247     Dieser Diffusionsvorgang wird alle $d_v$ Schritte ausgef"uhrt.
248
249     Die Sputter-Routine wird nach der Dosis, die einem Abtrag von $3 nm$ entspricht ausgef"uhrt.
250     Der Zusammenhang zwischen Sputterrate $S$ und Anzahl der Simulationsdurchl"aufe $n$ ist demnach wie folgt gegeben:
251     \begin{equation}
252     S = \frac{(3 nm)^3 XY }{n} \quad \textrm{.}
253     \end{equation}
254     Nach $n$ Simulationsdurchl"aufen wird eine kohlenstofffreie, kristalline Ebene von unten her eingeschoben.
255     Der Inhalt der Ebene $i$ wird auf die Ebene $i-1$ (f"ur $i = Z, Z-1, \ldots, 2$) "uberschrieben.
256     Die Information der obersten Ebene $i=1$ geht dabei verloren.
257     Diese entspricht der abgetragenen Ebene.
258     Die Ebene $i=Z$ erh"alt kristallinen Status und die Kohlenstoffkonzentration Null.
259
260     Dies macht allerdings nur Sinn, wenn das Implantationsprofil und die nukleare Bremskraft f"ur die Ebenen tiefer $Z$ auf Null abgefallen ist, um kristalline, kohlenstofffreie Ebenen zu garantieren.
261
262     Die Sputterrate kann durch {\em TRIM} bestimmt werden.
263     Bei den gegebenen Bedingungen werden ungef"ahr $50 nm$ des Targets bei einer Dosis von $4,3 \times 10^{-17} cm^{-2}$ abgetragen.
264
265   \section{Simulierte Tiefenbereiche}
266   \label{section:sim_tiefenbereich}
267
268   Wie bereits erw"ahnt gibt es zwei verschiedene Versionen des Programms. Sie simulieren zwei unterschiedlich gro"se Tiefenbereiche, welche im Folgenden Simulationsfenster genannt werden.
269
270   Da in erster Linie der Selbstorganisationsprozess der lamellaren Ausscheidungen an der vorderen Grenzfl"ache der amorphen $SiC_x$-Schicht simuliert werden soll, ist der Tiefenbereich der ersten Version gerade bis zum Beginn der durchgehenden Schicht.
271   Dies entspricht einer Tiefe von ungef"ahr $300 nm$, und somit einer Anzahl von $Z=100$ W"urfeln in $z$-Richtung.
272
273   Wie in \ref{img:bk_impl_p} gut zu erkennen ist, kann in diesem Tiefenbereich sowohl die Reichweitenverteilung, als auch die nukleare Bremskraft durch eine von der Tiefe linear abh"angige Funktion gen"ahert werden.
274   Daher ergeben sich "Anderungen zu den im vorigen Abschnitt erkl"arten Methoden zur Wahl des Volumens, in dem ein Sto"sprozess beziehungsweise eine Kohlenstofferh"ohung stattfindet.
275
276   Die Zufallszahl $z$, die auf die Tiefen-Koordinate $m$ abgebildet wird, muss der Verteilung $p(z)dz = (sz + s_0)dz$ gen"ugen.
277   Dabei sind $s$ und $s_0$ Simulationsparameter, die die linear gen"aherte nukleare Bremskraft beschreiben.
278   Die Transformation wird wie in Abschnitt \ref{subsubsection:lin_g_p} beschrieben durchgef"uhrt.
279   Dasselbe betrifft die Wahl der Tiefen-Koordinate f"ur den Einbau des Kohlenstoffatoms.
280   Anstatt der Wahrscheinlichkeitsverteilung der nuklearen Bremskraft entsprechend, wird eine Verteilung entsprechend dem  linear gen"aherte Implantationsprofil verwendet.
281   Ausserdem wird nicht nach jedem Durchlauf ein Ion im Simulationsbereich zur Ruhe kommen.
282   Da das Maximum der Reichweitenverteilung sehr viel tiefer liegt, werden die meisten Ionen ausserhalb des Simulationsfensters stehen bleiben.
283   Daher wird immer nur dann ein Ion eingebaut, wenn der im Simulationsbereich vorhandene Kohlenstoff $n_c$ kleiner als die Anzahl der Durchl"aufe $n$ multipliziert mit dem Verh"altnis der Fl"ache der Implantationskurve $I(x)$ bis $300 nm$ zur Fl"ache der gesamten Implantationskurve ist.
284   \begin{equation}
285   n_c < n \frac{\int_0^{300 nm} I(x) dx}{\int_0^{\infty} I(x) dx}
286   \end{equation}
287
288   Da sowohl die Reichweitenverteilung, als auch die nukleare Bremskraft in Ebenen gr"osser $Z$ ungleich Null ist, kann Sputtern nicht beachtet werden.
289   Der Diffusionsprozess ist uneingeschr"ankt "moglich.
290
291   Hier sei angemerkt, dass die Simulation prinzipiell auch Diffusion von Kohlenstoff innerhalb kristalliner Volumina behandeln kann.
292   Die erste Idee war, dass Kohlenstoff in kristalline Gebiete diffundieren kann, die bereits einen grossen Anteil ihres Kohlenstoffs an einen amorphen Nachbarn abgegeben haben.
293   Da jedoch das Konzentrationsprofil durch Diffusionsprozesse nicht ver"andert werden darf, wurde die rein kristalline Diffusion in $z$-Richtung ausgeschlossen.
294   Da weiterhin die Implantationsprofile von experimentellen Messungen und {\em TRIM}-Simulationen recht gut "ubereinstimmen, kann Diffusion in $z$-Richtung tats"achlich ausgeschlossen werden.
295   Eine Vorzugsrichtung der Diffusion ist unphysikalisch, weshalb die Diffusion innerhalb kristalliner Gebiete in weiteren Simulationen ausgeschlossen wurde.
296   Als Relikt bleibt die Option die Diffusion in $z$-Richtung auszuschalten.
297
298   In der zweiten Version wird die gesamte Implantationstiefe simuliert.
299   Das Simulationsfenster geht von $0-700 nm$.
300   Dies entspricht einer Anzahl $Z=233$ von W"urfeln in $z$-Richtung.
301
302   Die Tiefen-Koordinaten f"ur den Sto"sprozess und die Kohlenstoffinkorporation werden wie in Abschnitt \ref{subsection:a_r_step} beschrieben nach der Verwerfungsmethode entsprechend dem nuklearen Bremskraftprofil und der Reichweitenverteilung gewonnen.
303
304    Da sowohl der nukleare Energieverlust und die Kohlenstoffkonzentration in Ebenen gr"osser $Z$ auf Null abgesunken ist, kann die Sputterroutine ausgef"uhrt werden.
305    Der Diffusionsprozess ist ebenfalls uneingeschr"ankt m"oglich.
306
307   \section{Test der Zufallszahlen}
308
309   F"ur vern"unftige Ergebnisse muss die Qualit"at der Zufallszahlen gesichert sein.
310   Es gibt viele statistische Tests eine Zahlenfolge auf ihre Verteilung beziehungsweise Zuf"alligkeit zu "uberpr"ufen.
311
312   Im Folgenden soll nur kontrolliert werden, dass f"ur gleichverteilte Zufallszahlen keine lokalen Anh"aufungen von Zahlen existieren.
313   Desweiteren werden die Methoden zur Erzeugung spezieller Wahrscheinlichkeitsverteilungen durch Vergleich der H"aufigkeit auftretender Zufallszahlen mit dem gew"unschten Verlauf "uberpr"uft.
314
315   Dazu werden f"ur die unterschiedlichen Verteilungen jeweils 10 Millionen Zufallszahlen zwischen $0$ und $232$ erzeugt und auf die n"achst kleinere ganze Zahl abgerundet.
316   Ein einfaches Script-Programm z"ahlt die H"aufigkeit der einzelnen Zufallszahlen in der Zufallszahlensequenz.
317
318   \begin{figure}[h]
319   \includegraphics[width=12cm]{random.eps}
320   \caption{H"aufigkeit ganzzahliger Zufallszahlen unterschiedlicher Wahrscheinlichkeitsverteilungen. F"ur jede Verteilung wurden 10 Millionen Zufallszahlen ausgew"urfelt.}
321   \label{img:random_distrib}
322   \end{figure}
323   Abbildung \ref{img:random_distrib} zeigt die H"aufigkeit von Zufallszahlen zwischen $0$ und $232$, abgerundet auf die n"achst kleinere ganze Zahl, f"ur unterschiedliche Wahrscheinlichkeitsverteilungen.
324   
325   Die blauen Punkte zeigen die Gleichverteilung nach \eqref{eq:gleichverteilte_r}.
326   Man erkennt keine lokalen Anh"aufungen.
327
328   Die roten Punkte zeigen die H"aufigkeit der Zufallszahlen bei Verwendung einer linear steigenden Wahrscheinlichkeitsverteilung wie in Abschnitt \ref{subsubsection:lin_g_p} beschrieben.
329   Dabei wurde $a=1$, $b=0$ und $Z=233$ gew"ahlt.
330   Wie erwartet zeigen die Punkte einen linearen Verlauf.
331
332   Die H"aufigkeiten, der mit der Verwerfungsmethode erzeugten Zufallszahlen entsprechend der nuklearen Bremskraft (gr"un) und dem Implantationsprofil (schwarz), stimmen sehr gut mit den Profilen in Abbildung \ref{img:bk_impl_p} "uberein.
333
334   \section{Ablaufschema}
335
336   Das Ablaufschema ist aus Platzgr"unden in zwei Teile gegliedert.
337   Abbildung \ref{img:flowchart1} zeigt das Ablaufschema des Amorphisierungs- und Rekristallisationsvorgangs.
338   In Abbildung \ref{img:flowchart2} wird der Kohlenstoffeinbau sowie Diffusion und Sputtern behandelt.
339
340   \begin{figure}[h]
341   \begin{pspicture}(0,0)(12,18)
342
343     \rput(6,18){\rnode{start}{\psframebox{{\em NLSOP} Start}}}
344
345     \rput(6,16){\rnode{random1}{\psframebox{\parbox{7.5cm}{
346       Ausw"urfeln der Zufallszahlen:\\
347       $R_1$, $R_2$, $R_3$ entsprechend nuklearer Bremskraft\\
348       $R_4 \in [0,1[$
349     }}}}
350     \ncline[]{->}{start}{random1}
351
352     \rput(6,14){\rnode{koord_wahl}{\psframebox{\parbox{7.5cm}{
353       Bestimmung von $\vec{r}(k,l,m)$ durch Abbildung von $R_1$, $R_2$ und $R_3$ auf $k$, $l$ und $m$
354     }}}}
355     \ncline[]{->}{random1}{koord_wahl}
356
357     \rput(6,11){\rnode{berechnung_pca}{\psframebox{\parbox{12cm}{
358       Berechnung von $p_{c \rightarrow a}(\vec{r})$ und $p_{a \rightarrow c}(\vec{r})$:
359       \[
360       \begin{array}{lll}
361       p_{c \rightarrow a}(\vec r) & = & p_{b} + p_{c} \, c_{Kohlenstoff}(\vec r) + \sum_{amorphe \, Nachbarn} \frac{p_{s} \, c_{Kohlenstoff}(\vec{r'})}{(\vec r - \vec{r'})^2} \\
362       p_{a \rightarrow c}(\vec r) & = & (1 - p_{c \rightarrow a}(\vec r)) \Big(1 - \frac{\sum_{direkte \, Nachbarn} \delta (\vec{r'})}{6} \Big)
363       \end{array}
364       \]
365       \[
366       \delta (\vec r) = \left\{
367         \begin{array}{ll}
368         1 & \textrm{wenn Gebiet bei $\vec r$ amorph} \\
369         0 & \textrm{sonst} \\
370         \end{array}
371       \right.
372       \]
373     }}}}
374     \ncline[]{->}{koord_wahl}{berechnung_pca}
375
376     \rput(6,8){\rnode{status}{\psframebox{Volumen $\vec{r}(k,l,m)$ amorph?}}}
377     \ncline[]{->}{berechnung_pca}{status}
378
379     \rput(3,6){\rnode{cryst}{\psframebox[linestyle=solid,linecolor=blue]{$R_4 \le p_{c \rightarrow a}$?}}}
380     \rput(9,6){\rnode{amorph}{\psframebox[linestyle=solid,linecolor=red]{$R_4 \le p_{a \rightarrow c}$?}}}
381     \ncline[]{->}{status}{cryst}
382     \lput*{0}{nein}
383
384     \ncline[]{->}{status}{amorph}
385     \lput*{0}{ja}
386
387     \rput(3,4){\rnode{do_amorph}{\psframebox[linestyle=solid,linecolor=red]{Setze Volumen amorph}}}
388     \ncline[]{->}{cryst}{do_amorph}
389     \lput*{0}{ja}
390
391     \rput(9,4){\rnode{do_cryst}{\psframebox[linestyle=solid,linecolor=blue]{Setze Volumen kristallin}}}
392     \ncline[]{->}{amorph}{do_cryst}
393     \lput*{0}{ja}
394
395     \rput(6,3){\rnode{check_h}{\psframebox{Anzahl der Durchl"aufe gleich Anzahl der Treffer pro Ion?}}}
396
397     \rput(6,6){\pnode{h_2}}
398     \ncline[]{amorph}{h_2}
399     \ncline[]{->}{h_2}{check_h}
400     \lput*{0}{nein}
401
402     \rput(6,6){\pnode{h_3}}
403     \ncline[]{cryst}{h_3}
404     \ncline[]{->}{h_3}{check_h}
405     \lput*{0}{nein}
406
407     \rput(13,3){\pnode{h_4}}
408     \rput(13,16){\pnode{h_5}}
409     \ncline[]{check_h}{h_4}
410     \ncline[]{h_4}{h_5}
411     \lput*{0}{nein}
412     \ncline[]{->}{h_5}{random1}
413
414     \ncline[]{->}{do_cryst}{check_h}
415     \ncline[]{->}{do_amorph}{check_h}
416
417     \rput(6,1){\rnode{weiter_1}{\psframebox{$\bigotimes$}}}
418     \ncline[]{->}{check_h}{weiter_1}
419     \lput*{0}{ja}
420
421   \end{pspicture}
422   \caption{{\em NLSOP} Ablaufschema Teil 1: Amorphisierung und Rekristallisation.}
423   \label{img:flowchart1}
424   \end{figure}
425
426   \begin{figure}[h]
427   \begin{pspicture}(0,0)(12,18)
428
429     \rput(6,18){\rnode{weiter_2}{\psframebox{$\bigotimes$}}}
430
431     \rput(6,16){\rnode{random2}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=green]{\parbox{7.5cm}{
432       Ausw"urfeln der Zufallszahlen:\\
433       $R_5$, $R_6$, $R_7$ entsprechend Reichweitenverteilung
434     }}}}
435     \ncline[]{->}{weiter_2}{random2}
436
437     \rput(2,14){\rnode{koord_wahl_i}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=green]{\parbox{7cm}{
438       Bestimmung von $\vec{r}(k,l,m)$ durch Abbildung von $R_5$, $R_6$ und $R_7$ auf $k$, $l$ und $m$
439     }}}}
440     \ncbar[angleA=180,angleB=180]{->}{random2}{koord_wahl_i}
441
442     \rput(10,14){\rnode{inc_c}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=green]{\parbox{7cm}{
443       Erh"ohung des Kohlenstoffs im Volumen $\vec{r}(k,l,m)$
444     }}}}
445     \ncline[]{->}{koord_wahl_i}{inc_c}
446
447     \rput(10,12){\rnode{is_d}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Durchlauf vielfaches von $d_v$?}}}
448     \ncline[]{->}{inc_c}{is_d}
449
450     \rput(2,12){\rnode{is_s}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=red]{Durchlauf vielfaches von $n$?}}}
451     \ncline[]{->}{is_d}{is_s}
452     \lput*{0}{nein}
453
454     \rput(10,10){\rnode{loop_d}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Gehe alle/verbleibende Volumina durch?}}}
455     \ncline[]{->}{is_d}{loop_d}
456     \lput*{0}{ja}
457
458     \rput(10,9){\rnode{d_is_amorph}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Volumen $\vec{r}(k,l,m)$ amorph?}}}
459     \ncline[]{->}{loop_d}{d_is_amorph}
460
461     \rput(10,7){\rnode{loop_dn}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{\parbox{4cm}{
462       Gehe alle/verbleibende\\
463       direkte Nachbarn durch
464     }}}}
465     \ncline[]{->}{d_is_amorph}{loop_dn}
466     \lput*{0}{ja}
467
468     \rput(10,6){\rnode{is_cryst}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Nachbarvolumen kristallin?}}}
469     \ncline[]{->}{loop_dn}{is_cryst}
470
471     \rput(11,4){\rnode{transfer}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{\parbox{3.5cm}{
472       "Ubertrage den Anteil $d_r$ des Kohlenstoffs
473     }}}}
474     \ncline[]{->}{is_cryst}{transfer}
475     \lput*{0}{ja}
476
477     \rput(10,3){\rnode{check_dn}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Alle Nachbarn durch?}}}
478     \ncline[]{->}{transfer}{check_dn}
479     \rput(8.5,5){\pnode{h1}}
480     \ncline[]{is_cryst}{h1}
481     \rput(8.5,3.2){\pnode{h2}}
482     \ncline[]{->}{h1}{h2}
483     \lput*{0}{nein}
484     \rput(13,3){\pnode{h3}}
485     \ncline[]{check_dn}{h3}
486     \rput(13,7){\pnode{h4}}
487     \ncline[]{h3}{h4}
488     \lput*{0}{nein}
489     \ncline[]{->}{h4}{loop_dn}
490
491     \rput(10,1){\rnode{check_d}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Alle Volumina durch?}}}
492     \ncline[]{->}{check_dn}{check_d}
493     \lput*{0}{ja}
494     \rput(13.5,1){\pnode{h5}}
495     \ncline[]{check_d}{h5}
496     \rput(13.5,10){\pnode{h6}}
497     \ncline[]{h5}{h6}
498     \lput*{0}{nein}
499     \ncline[]{->}{h6}{loop_d}
500     \rput(6,1){\pnode{h7}}
501     \ncline[]{check_d}{h7}
502     \lput*{0}{ja}
503     \rput(6,11){\pnode{h8}}
504     \ncline[]{h7}{h8}
505     \rput(4.4,11.9){\pnode{h9}}
506     \ncline[]{->}{h8}{h9}
507
508     \rput(2,9){\rnode{s_p}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=red]{\parbox{7cm}{
509       Sputterroutine:\\
510       \begin{itemize}
511         \item Kopiere Inhalt von Ebene $i$ nach\\
512               Ebene $i-1$ f"ur $i = Z,Z-1,\ldots ,2$
513         \item Setze Status jedes Volumens in Ebene $Z$ kristallin
514         \item Setze Kohlenstoff jedes Volumens in Ebene $Z$ auf Null
515       \end{itemize}
516     }}}}
517     \ncline[]{->}{is_d}{loop_d}
518     \lput*{0}{ja}
519     \ncline[]{->}{is_s}{s_p}
520
521     \rput(2,5){\rnode{check_n}{\psframebox{\parbox{4cm}{
522       Anzahl Durchl"aufe entsprechend Dosis?
523     }}}}
524     \ncline[]{->}{s_p}{check_n}
525
526     \rput(4,3){\rnode{start}{\psframebox{{\em NLSOP} Start}}}
527     \ncline[]{->}{check_n}{start}
528     \lput*{0}{nein}
529     \rput(0,3){\rnode{stop}{\psframebox{{\em NLSOP} Stop}}}
530     \ncline[]{->}{check_n}{stop}
531     \lput*{0}{ja}
532
533   \end{pspicture}
534   \caption{{\em NLSOP} Ablaufschema Teil 2: Kohlenstoffeinbau (gr"un), Diffusion (gelb) und Sputtervorgang (rot).}
535   \label{img:flowchart2}
536   \end{figure}
537