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1 \chapter{Simulation}
2 \label{chapter:simulation}
3
4 Im Folgenden soll die Implementation der Monte-Carlo-Simulation nach dem vorangegangenen Modell diskutiert werden.
5 Die Simulation tr"agt den Namen {\em NLSOP}, was f"ur die Schlagw"orter {\bf N}ano, {\bf L}amellar und {\bf S}elbst{\bf o}rganisations{\bf p}rozess steht.
6 Die Simulation ist in der Programmiersprache {\em C} \cite{kerningham_ritchie} geschrieben.
7 Der Simulationscode wurde auf Computern der {\em IA32}-Rechnerarchitektur mit dem {\em GNU C Compiler} auf einem Linux Bestriebssystem "ubersetzt und betrieben.
8
9 Ziel der Simulation ist die Validierung des Modells anhand der experimentellen Ergebnisse, wie sie in Abbildung \ref{img:xtem_img} vorliegen.
10 Es wurden zwei Versionen der Simulation erstellt, die unterschiedliche Tiefenbereiche abdecken.
11 Die erste Version beschreibt den Bereich von der Oberfl"ache des Targets bis zum Beginn der durchgehend amorphen $SiC_x$-Schicht, also den Tiefenbereich von $0$ bis $300 \, nm$.
12 Nachdem eine Beschreibung der Bildung lamellarer amorpher Ausscheidungen mit dieser Version sehr gut funktioniert hat, wurde eine zweite Version entwickelt, die den gesamten Implantationsbereich betrachtet.
13 Auf weitere Unterschiede in den zwei Versionen wird in einem gesonderten Abschnitt genauer eingegangen.
14
15 Die Simulation kann grob in drei Abschnitte unterteilt werden.
16 Im ersten Schritt werden die Kollisionen eines Ions im Target und die daraus resultierende Amorphisierung beziehungsweise Rekristallisation eines Gebietes simuliert.
17 Nachdem das Ion seine Energie durch St"o"se im Target abgegeben hat kommt es zur Ruhe.
18 Der Einbau des Kohlenstoffs im Target wird im zweiten Schritt ausgef"uhrt.
19 Als letztes wird die Diffusion von Kohlenstoff von kristallinen in amorphe Gebiete und der Sputtervorgang realisiert.
20
21 Im Folgenden werden der Simulationsalgorithmus und die dazu ben"otigten Annahmen besprochen.
22 Ein weiterer Abschnitt besch"aftigt sich mit der Extraktion von, f"ur die Simulation notwendigen, Informationen aus {\em TRIM}-Ergebnissen.
23 Das Kapitel schlie"st mit dem Test der verwendeten Zufallszahlen.
24
25   \section{Annahmen der Simulation}
26
27     \subsection{Unterteilung des Targets}
28     \label{subsection:unterteilung}
29
30     Wie in Abbildung \ref{img:sim_gitter} zu sehen ist, wird das Target in W"urfel mit der Seitenl"ange $a = 3 \, nm$ zerlegt.
31     \printimg{h}{width=12cm}{gitter_oZ.eps}{Unterteilung des Targets in W"urfel mit $3 \, nm$ Kantenl"ange. Jedes Volumen ist entwerder amorph (rot) oder kristallin (blau) und protokolliert die lokale Kohlenstoffkonzentration.}{img:sim_gitter}
32     Die Anzahl der W"urfel in $x$, $y$ und $z$ Richtung ist frei einstellbar.
33     Ein solches Volumen kann durch den Ortsvektor $\vec{r}(k,l,m)$, wobei $k$, $l$ und $m$ ganze Zahlen sind, addressiert werden.
34     Jeder W"urfel hat entweder den Zustand amorph (rot), oder ist kristallin (blau).
35     Die lokale Anzahl der implantierten Kohlenstoffatome wird ebenfalls protokolliert.
36
37     Die Ausdehnung des Targets in $x,y$-Richtung ist im Gegensatz zur Tiefe sehr gro"s und kann als unendlich ausgedehnt angenommen werden.
38     Um die Anzahl der W"urfel in diese Richtungen in der Simulation, aus Gr"unden der Rechenzeit, m"oglichst klein halten zu k"onnen, werden periodische Randbedingungen in der $x,y$-Ebene verwendet.
39
40     In Version 1 der Simulation wurden $x = y = 50$ beziehungsweise $x = y = 64$ und $z = 100$ gesetzt.
41     In Version 2 sind $x = y = 64$ und $z = 233$.
42
43     Zum besseren Vergleich der Simulationsergebnisse mit den experimentell erhaltenen TEM-Aufnahmen k"onnen Querschnitte (Cross-Sections) der amoprh/kristallinen Struktur als Bitmap ausgegeben werden.
44     Kristalline W"urfel sind schwarz und amorphe W"urfel wei"s dargestellt.
45     F"ur die $x-z$- beziehungsweise  $y-z$-Querschnitte besteht die M"oglichkeit "uber mehrere Querschnitte zu mitteln.
46     Die selbe Mittelung "uber den amorph/kristallinen Zustand ist bei den TEM-Aufnahmen, der auf eine Dicke von $100$ bis $300 \, nm$ pr"aparierten Proben der Fall.
47
48     \subsection{Amorphisierung und Rekristallisation}
49     \label{subsection:a_and_r}
50
51     Nach dem in Kapitel \ref{chapter:modell} vorgestellten Modell gibt es drei statistisch unabh"angige zur Amorphisierung beitragende Mechanismen.
52     Eine lokale Wahrscheinlichkeit f"ur die Amorphisierung $p_{c \rightarrow a}$ eines beliebigen kristallinen Volumens am Ort $\vec{r}$ setzt sich aus den drei Einzelwahrscheinlichkeiten f"ur die ballistische, kohlenstoffinduzierte und spannungsinduzierte Amorphisierung zusammen.
53     Sie wird wie folgt berechnet:
54     \begin{equation}
55     p_{c \rightarrow a}(\vec r) = p_{b} + p_{c} c_C (\vec r) + \sum_{amorphe \, Nachbarn} \frac{p_{s} \, c_C (\vec{r'})}{(\vec r - \vec{r'})^2}
56     \label{eq:p_ca_local}
57     \end{equation}
58
59     Der Beitrag der ballistischen Amorphisierung besteht nur aus der Konstanten $p_b$.
60     Die Wahrscheinlichkeit f"ur die ballistische Amorphisierung in einem Sto"s ist unabh"angig vom Ort und somit eine Konstante.
61     Sie hat die Einheit $1$.
62     Die h"ohere Wahrscheinlichkeit, im Maximum der nuklearen Bremskraft zu amorphisieren, kommt durch die h"ohere Anzahl an St"o"sen in diesem Tiefenbereich zustande.
63     Wieso dieser Beitrag in dieser Art sinnvoll ist, wird in Abschnitt \ref{subsection:parse_trim_coll} gekl"art.
64
65     Die Wahrscheinlichkeit f"ur die kohlenstoffinduzierte Amorphisierung wird proportional zur lokalen Kohlenstoffkonzentration $c_C$ angenommen.
66     $p_c$ ist die dazugeh"orige Proportionalit"atskonstante und hat demnach die Einheit $[p_c] = m^3$.
67
68     Der Beitrag der Druckspannungen setzt sich aus den einzelnen Beitr"agen amorpher Gebiete in der selben Ebene zusammen, da nur diese unrelaxierte Spannungen aus"uben.
69     Dabei ist der Wahrscheinlichkeitsbeitrag eines amorphen Volumens bei $\vec{r'}$ auf das Volumen am Ort $\vec{r}$ wieder proportional zur lokalen Kohlenstoffkonzentration in $\vec{r'}$.
70     Dies ist offensichtlich, denn je mehr Kohlenstoff in einem amorphen Volumen vorhanden ist, desto gr"o"ser ist die ausgehende Spannung auf die Umgebung.
71     Gleichzeitig ist der Beitrag indirekt proportional zum Abstandsquadrat $(\vec r - \vec{r'})^2$, da der Druck quadratisch mit der Entfernung abf"allt.
72     $p_s$ ist eine Proportionalit"atskonstante und hat somit die Einheit $[p_s] = m^5$.
73
74     Die Rekristallisationswahrscheinlichkeit amorpher Gebiete $p_{a \rightarrow c}$ sollte sich genau entgegensetzt zu $p_{c \rightarrow a}$ verhalten und wird deshalb als
75     \begin{equation}
76     p_{a \rightarrow c}(\vec r) = 1 - p_{c \rightarrow a}(\vec r)
77     \label{eq:p_ac_local}
78     \end{equation}
79     angenommen.
80     Jedoch muss die direkte Nachbarschaft des Volumens ber"ucksichtigt werden.
81     Da es sich bei den betrachteten Temperaturen allein um ionenstrahlinduzierte, epitaktische Rekristallisation handelt und einschr"ankend hier nur der Temperaturbereich bis $250 \, ^{\circ} \mathrm{C}$ behandelt wird, in dem keine merkliche ionenstrahlinduzierte Nukleation innerhalb amorpher Bereiche auftritt \cite{basic_phys_proc}, sollte f"ur die Rekristallisation die Strukturinformation einer kristallinen Nachbarschaft notwendig sein.
82     Mit einer zunehmenden Anzahl von amorphen Nachbarn sollte die Rekristallisationswahrscheinlichkeit also sukzessive abnehmen und ganz verschwinden, wenn kein einziger kristalliner Nachbar vorhanden ist.
83     Mit der im Abschnitt \ref{subsection:unterteilung} beschriebenen Unterteilung hat ein Volumen genau sechs Grenzfl"achen, von denen die Rekristallisationsfront ausgehen kann.
84     Damit kann man \eqref{eq:p_ac_local} neu schreiben und man erh"alt:
85     \begin{equation}
86     p_{a \rightarrow c}(\vec r) = (1 - p_{c \rightarrow a}(\vec r)) \Big(1 - \frac{\sum_{direkte \, Nachbarn} \delta (\vec{r'})}{6} \Big) \, \textrm{,}
87     \label{eq:p_ac_genau}
88     \end{equation}
89     mit
90     \begin{equation}
91     \delta (\vec r) = \left\{ 
92     \begin{array}{ll}
93       1 & \textrm{wenn Gebiet bei $\vec r$ amorph} \\
94       0 & \textrm{sonst} \\
95     \end{array}
96     \right.
97     \label{eq:dedltafunc}
98     \end{equation}
99
100     Die Proportionalit"atskonstanten $p_b$, $p_c$ und $p_s$ sind bisher experimentell nicht zug"anglich und werden daher als frei w"ahlbare Simulationsparameter angenommen.
101     Es stellt sich also die Frage, ob ein Satz von Parametern existiert, der es erlaubt, experimentell gefundene Verteilungen, wie sie in Abbildung \ref{img:xtem_img} gezeigt werden, durch die Simulation zu reproduzieren.
102     Durch Variation der gefundenen Parameter k"onnen dann die unterschiedlichen Einfl"usse der verschiedenen Amorphisierungsmechanismen untersucht und der Selbstorganisationsprozess verstanden werden.
103     
104     \subsection{Diffusion}
105
106     Weiterhin sieht das Modell die M"oglichkeit der Diffusion von Kohlenstoff aus kristallinen in umliegende amorphe Volumina vor.
107     In Zeitintervallen $T_{Diff}$ wird ein Anteil $d_r$ des Kohlenstoffs eines kristallinen Volumens in das benachbarte amorphe Volumen transferiert.
108     Da von einem konstanten Strahlstrom ausgegangen wird, kann die Zeit $T_{Diff}$ auf eine Anzahl von implantierten Ionen $d_v$ abgebildet werden.
109     Die Diffusion des Kohlenstoffs von amorphen in kristalline Gebiete wird also durch die zwei Parameter $d_r$ und $d_v$ gesteuert.
110     Die Parameter sind ebenfalls frei w"ahlbar.
111     Aus Gr"unden der Rechenzeit sollte die Diffusionsroutine nicht nach jedem implantierten Ion ausgef"uhrt werden.
112     Diffusion innerhalb kristalliner Gebiete sowie Diffusion innerhalb amorpher Gebiete wird ausgeschlossen.
113     Von einer m"oglichen Kohlenstoff"ubers"attigung im Amorphen wird nicht ausgegangen, da der Kohlenstoff in $a-Si$ gut l"oslich ist.
114     Da die L"oslichkeit von Kohlenstoff in $c-Si$ nahezu Null ist, wird der Kohlenstoff immer bestrebt sein von dem kristallinen Bereich in die amorphen Gebiete zu diffundieren.
115
116     \subsection{Sputtern}
117
118     Es wird von einer, "uber der Oberfl"ache gleichm"a"sig verteilten und w"ahrend des Implantationsvorganges konstanten Sputterrate ausgegangen.
119     Aufgrund der Unterteilung des Targets in W"urfel mit der Seitenl"ange $3 \, nm$ muss diese Sputterrate in Einheiten einer Dosis, welche $3 \, nm$ sputtert, angegeben werden.
120     Jedesmal, nachdem das Programm diese Dosis durchlaufen hat, wird die Sputterroutine aufgerufen, welche die oberste Targetebene abtr"agt.
121
122   \section{Statistik von Sto"sprozessen}
123
124   F"ur die Simulation ben"otigt man die Statistik der Sto"sprozesse des Kohlenstoffs im Siliziumtarget unter den gegebenen Implantationsbedingungen.
125   Dabei sind insbesondere die nukleare Bremskraft f"ur den Amorphisierungs- beziehungsweise Rekristallisationsschritt und das Implantationsprofil f"ur den Einbau des Kohlenstoffs ins Siliziumtarget von Interesse.
126   {\em NLSOP} benutzt die Ergebnisse des {\em TRIM}-Programms, welches die Wechelswirkung der Ionen mit dem Target simuliert und somit ein geeignetes Bremskraft- und Implantationsprofil, sowie eine genaue Buchf"uhrung "uber die Sto"skaskaden bereitstellt.
127   Durch die Abbildung von Zufallszahlen auf die so erhaltenen Verteilungen k"onnen die eigentlichen physikalischen Abl"aufe sehr schnell und einfach behandelt werden.
128   Im Folgenden wird auf die Ermittlung einiger, f"ur {\em NLSOP} wichtige Statistiken eingegangen.
129
130     \subsection{Implantationsprofil und nukleare Bremskraft}
131
132     \printimg{h}{width=13cm}{trim92_2.eps}{Von {\em TRIM 92} ermittelte Reichweitenverteilung und tiefenabh"angige Bremskr"afte f"ur $180 \, keV$ $C^+ \rightarrow Si$.}{img:bk_impl_p}
133     \printimg{!h}{width=12cm}{trim_impl.eps}{Durch {\em SRIM 2003.26} berechnetes Implantationsprofil f"ur $180 \, keV$ $C^+ \rightarrow Si$.}{img:trim_impl}
134
135     Abbildung \ref{img:bk_impl_p} zeigt die von {\em TRIM 92} ermittelte nukleare Bremskraft sowie das Kohlenstoffkonzentrationsprofil f"ur die in dieser Arbeit verwendeten Parameter.
136     Die gestrichelte Linie markiert das Ionenprofilmaximum bei $500 \, nm$.
137     Sputtereffekte und Abweichungen aufgrund der kontinuierlich ver"anderten Targetzusammensetzung w"ahrend der Hochdosisimplantation werden von {\em TRIM} allerdings nicht ber"ucksichtigt.
138     
139     Die Profile werden von {\em TRIM} selbst in separate Dateien geschrieben.
140     Tauscht man die Kommata (Trennung von Ganzzahl und Kommastelle) durch Punkte aus, so kann {\em NLSOP} diese Dateien auslesen und die Profile extrahieren.
141    
142     In Abbildung \ref{img:trim_impl} ist das f"ur diese Simulation verwendete, von einer neueren {\em TRIM}-Version ({\em SRIM 2003.26})  berechnete Implantationsprofil abgebildet.
143     Dieses Profil verwendet {\em NLSOP} zum Einbau des Kohlenstoffs.
144     Das Implantationsmaximum liegt hier bei ungef"ahr $530 \, nm$.
145     Auff"allig ist eine Verschiebung des Maximums um $30 \, nm$ zu dem Maximum aus Abbildung \ref{img:bk_impl_p}.
146     Dies ist auf eine Ver"anderung in der elektronischen Bremskraft zur"uckzuf"uhren.
147
148     \clearpage
149
150     \subsection{Durchschnittliche Anzahl der St"o"se der Ionen und Energieabgabe}
151     \label{subsection:parse_trim_coll}
152
153     Weiterhin bietet {\em TRIM} die M"oglichkeit eine Datei Namens {\em COLLISION.TXT} anzulegen, in der s"amtliche Sto"skaskaden protokolliert sind.
154     Zu jedem Sto"s sind Koordinaten und Energie"ubertrag angegeben.
155     Mit dem Programm {\em parse\_trim\_collision} (Anhang \ref{section:hilfsmittel}) kann diese Datei ausgewertet werden.
156     Die daraus gewonnen Erkenntnisse sollen im Folgenden diskutiert werden.
157     F"ur diese Statistik wurden die Sto"skaskaden von $8300$ implantierten Ionen verwendet.
158
159     \printimg{h}{width=12cm}{trim_coll.eps}{Auf das Maximum 1 skalierte tiefenabh"angige Energieabgabe (blau) und Anzahl der Kollisionen (rot).}{img:trim_coll}
160     Abbildung \ref{img:trim_coll} zeigt die nukleare Energieabgabe und die Anzahl der St"o"se von Ionen und Recoils in Abh"angigkeit von der Tiefe.
161     Beide Graphen wurden auf das selbe Maximum skaliert.
162     Man erkennt, dass diese nahezu identisch sind.
163     Die durchschnittliche Energieabgabe pro Sto"s ist also ungef"ahr konstant und unabh"angig von der Tiefe.
164     Dies ist der Grund f"ur die Wahl eines konstanten Beitrags der ballistischen Amorphisierung in Abschnitt \ref{subsection:a_and_r}.
165     Jeder Sto"s "ubertr"agt durchschnittlich einen konstanten Energiebetrag im Falle einer Kollision, und tr"agt somit einen konstanten Anteil zur Amorphisierungswahrscheinlichkeit bei.
166     
167     Desweiteren ist nun die Wahrscheinlichkeit f"ur eine Kollision in einer bestimmten Tiefe bekannt.
168     Sie ist proportional zur Anzahl der Kollisionen in dieser Tiefe.
169     Durch die h"ohere Anzahl der St"o"se im Maximum der nuklearen Bremskraft steigt die Wahrscheinlichkeit f"ur ein Ion in diesem Tiefenbereich zu amorphisieren.
170
171     \printimg{h}{width=12cm}{trim_nel.eps}{Durch {\em SRIM 2003.26} berechneter nuklearer Energieverlust f"ur $180 \, keV$ $C^+ \rightarrow Si$.}{img:trim_nel}
172     Zum Vergleich zeigt Abbildung \ref{img:trim_nel} die von {\em SRIM 2003.26} selbst berechnete nukleare Bremskraft.
173     Wie zu erwarten entspricht sie ungef"ahr dem Verlauf der in Abbildung \ref{img:trim_coll} gezeigten Energieabgabe.
174     Daher wird dieses Profil f"ur {\em NLSOP} zur Verteilung der Kollisionen im Taregt verwendet.
175
176     Ein implantiertes Ion und dadurch entstandene Recoils verursachen durchschnittlich eine Anzahl von $1088$ Kollisionen, bis alle Teilchen bis auf Energien unterhalb der Verlagerungsenergie f"ur $Si$ Atome von $15 \, eV$ \cite{ziegler_biersack_littmark} abgesunken sind.
177     Die Zahl der getroffenen W"urfel, also Volumina in denen ein Ion mindestens eine Kollision verursacht, ist sehr viel geringer.
178     Das Auswertungsprogramm {\em parse\_trim\_collision} z"ahlt durchschnittlich $75$ getroffene Volumina pro implantiertem Ion.
179     Genauer gesagt z"ahlt das Programm die Anzahl der Ebenen mit $3 \, nm$ H"ohe in denen Kollisionen verursacht werden.
180     Teilchenbahnen parallel zur Targetoberfl"ache verf"alschen diese Zahl.
181     Au"serdem werden mehrmalige Durchl"aufe der Ebenen nicht mitgez"ahlt.
182     Man sollte weiterhin beachten, dass Volumina in denen selbst nur eine Kollision stattfindet mitgez"ahlt werden, was allerdings nur sehr unwahrscheinlich zur Amorphisierung f"uhren wird.
183     Daher wird eine Trefferzahl von $h=100$ f"ur die Simulation angenommen.
184
185   \section{Simulationsalgorithmus}
186
187   Die Simulation kann in die drei Abschnitte Amorphisierung/Rekristallisation, Fremdatomeinbau und Diffusion/Sputtern gegliedert werden.
188   Die beschriebenen Prozeduren werden sequentiell abgearbeitet und beliebig oft durchlaufen.
189   Es wird mit einem komplett kristallinen und kohlenstofffreien Target gestartet.
190
191   Wenn, wie in Version 2 der Simulation, pro Durchlauf die Anzahl der simulierten Sto"skaskaden gleich der Anzahl der getroffenen Volumina ist, entspricht ein Durchlauf genau einem implantierten Ion.
192   Im Folgenden sei die Anzahl der W"urfel in $x$, $y$ und $z$ Richtung $X$, $Y$ und $Z$.
193   Eine Anzahl von $N$ Durchl"aufen ist damit "aquivalent zur Dosis $D$, die wie folgt gegeben ist:
194   \begin{equation}
195   D = \frac{N}{XY(3 \, nm)^2} \, \textrm{.}
196   \label{eq:dose_steps}
197   \end{equation}
198
199     \subsection{Amorphisierung und Rekristallisation}
200     \label{subsection:a_r_step}
201
202       \begin{figure}[!ht]
203       \begin{center}
204       \begin{pspicture}(0,0)(15,18)
205
206         \rput(7,18){\rnode{start}{\psframebox{{\em NLSOP} Start}}}
207
208         \rput(7,16){\rnode{random1}{\psframebox{\parbox{8.5cm}{
209           Ausw"urfeln der Zufallszahlen:\\
210           $R_1$, $R_2$, $R_3$ entsprechend nuklearer Bremskraft\\
211           $R_4 \in [0,1[$
212         }}}}
213         \ncline[]{->}{start}{random1}
214
215         \rput(7,14){\rnode{koord_wahl}{\psframebox{\parbox{7.5cm}{
216           Bestimmung von $\vec{r}(k,l,m)$ durch Abbildung von $R_1$, $R_2$ und $R_3$ auf $k$, $l$ und $m$
217         }}}}
218         \ncline[]{->}{random1}{koord_wahl}
219
220         \rput(7,11){\rnode{berechnung_pca}{\psframebox{\parbox{12cm}{
221           Berechnung von $p_{c \rightarrow a}(\vec{r})$ und $p_{a \rightarrow c}(\vec{r})$:
222           \[
223           \begin{array}{lll}
224           p_{c \rightarrow a}(\vec r) & = & p_{b} + p_{c} \, c_{Kohlenstoff}(\vec r) + \sum_{amorphe \, Nachbarn} \frac{p_{s} \, c_{Kohlenstoff}(\vec{r'})}{(\vec r - \vec{r'})^2} \\
225           p_{a \rightarrow c}(\vec r) & = & (1 - p_{c \rightarrow a}(\vec r)) \Big(1 - \frac{\sum_{direkte \, Nachbarn} \delta (\vec{r'})}{6} \Big)
226           \end{array}
227           \]
228           \[
229           \delta (\vec r) = \left\{
230             \begin{array}{ll}
231             1 & \textrm{wenn Gebiet bei $\vec r$ amorph} \\
232             0 & \textrm{sonst} \\
233             \end{array}
234           \right.
235           \]
236         }}}}
237         \ncline[]{->}{koord_wahl}{berechnung_pca}
238
239         \rput(7,8){\rnode{status}{\psframebox{Volumen $\vec{r}(k,l,m)$ amorph?}}}
240         \ncline[]{->}{berechnung_pca}{status}
241
242         \rput(4,6){\rnode{cryst}{\psframebox[linestyle=solid,linecolor=blue]{$R_4 \le p_{c \rightarrow a}$?}}}
243         \rput(10,6){\rnode{amorph}{\psframebox[linestyle=solid,linecolor=red]{$R_4 \le p_{a \rightarrow c}$?}}}
244         \ncline[]{->}{status}{cryst}
245         \lput*{0}{nein}
246
247         \ncline[]{->}{status}{amorph}
248         \lput*{0}{ja}
249
250         \rput(4,4){\rnode{do_amorph}{\psframebox[linestyle=solid,linecolor=red]{Setze Volumen amorph}}}
251         \ncline[]{->}{cryst}{do_amorph}
252         \lput*{0}{ja}
253
254         \rput(10,4){\rnode{do_cryst}{\psframebox[linestyle=solid,linecolor=blue]{Setze Volumen kristallin}}}
255         \ncline[]{->}{amorph}{do_cryst}
256         \lput*{0}{ja}
257
258         \rput(7,3){\rnode{check_h}{\psframebox{Anzahl der Durchl"aufe gleich Anzahl der Treffer pro Ion?}}}
259
260         \rput(7,6){\pnode{h_2}}
261         \ncline[]{amorph}{h_2}
262         \ncline[]{->}{h_2}{check_h}
263         \lput*{0}{nein}
264
265         \rput(7,6){\pnode{h_3}}
266         \ncline[]{cryst}{h_3}
267         \ncline[]{->}{h_3}{check_h}
268         \lput*{0}{nein}
269
270         \rput(14,3){\pnode{h_4}}
271         \rput(14,16){\pnode{h_5}}
272         \ncline[]{check_h}{h_4}
273         \ncline[]{h_4}{h_5}
274         \lput*{0}{nein}
275         \ncline[]{->}{h_5}{random1}
276
277         \ncline[]{->}{do_cryst}{check_h}
278         \ncline[]{->}{do_amorph}{check_h}
279
280         \rput(7,1){\rnode{weiter_1}{\psframebox{$\bigotimes$}}}
281         \ncline[]{->}{check_h}{weiter_1}
282         \lput*{0}{ja}
283
284       \end{pspicture}
285       \caption{{\em NLSOP} Ablaufschema Teil 1: Amorphisierung und Rekristallisation.}
286       \label{img:flowchart1}
287       \end{center}
288       \end{figure}
289
290     Im ersten Schritt sollen die Kollisionen und die daraus resultierende Amorphisierung beziehungsweise Rekristallisation simuliert werden.
291     Das zugeh"orige Ablaufschema ist in Abbildung \ref{img:flowchart1} gezeigt.
292     Zun"achst muss das gesto"sene Volumen ausgew"ahlt werden.
293     Die St"o"se sind bez"uglich der $x$ und $y$ Richtung statistisch isotrop verteilt.
294     Es werden zwei gleichverteilte Zufallszahlen $r_1 \in [0,X[$ und $r_2 \in [0,Y[$ nach \eqref{eq:gleichverteilte_r} ausgew"urfelt.
295     Diese werden auf die ganzen Zahlen $k$ und $l$ abgebildet und bestimmen die Lage des getroffenen Volumens in der $x,y$-Ebene.
296     Eine weitere, mit Hilfe der Verwerfungsmethode aus Abschnitt \ref{subsubsection:verwerf_meth} erzeugte Zufallszahl $r_3 \in [0,Z[$ entsprechend der nuklearen Bremskraft, abgebildet auf die ganze Zahl $m$, legt die Tiefe des getroffenen Volumens fest.
297     Somit hat man den Ortsvektor $\vec{r}(k,l,m)$ f"ur den Amorphisierungs- oder Rekristallisationsvorgang bestimmt.
298     Nun kann die Amorphisierungs- beziehungsweise Rekristallisationswahrscheinlichkeit nach \eqref{eq:p_ca_local} beziehungsweise \eqref{eq:p_ac_genau} berechnet werden.
299     Eine weitere Zufallszahl $r_4 \in [0,1[$ entscheidet dann "uber einen eventuellen Statuswechsel des Volumens.
300     Es gibt folgende M"oglichkeiten:
301     \begin{enumerate}
302     \item Volumen $\vec{r}(k,l,m)$ ist kristallin.\\
303           Wenn $r_4$ kleiner gleich $p_{c \rightarrow a}$ ist, wechselt der Status zu amorph.
304           Ansonsten bleibt der Status unver"andert.
305     \item Volumen $\vec{r}(k,l,m)$ ist amorph.\\
306           Wenn $r_4$ kleiner gleich $p_{a \rightarrow c}$ ist, wechselt der Status zu kristallin.
307           Ansonsten bleibt der Status unver"andert.
308     \end{enumerate}
309
310     Der gesamte Amorphisierungs- und Rekristallisationsschritt wird f"ur die Anzahl der getroffenen Volumina pro implantierten Ion $h$ wiederholt.
311
312     \subsection{Einbau des implantierten Kohlenstoffs ins Target}
313
314       \begin{figure}[h]
315       \begin{center}
316       \begin{pspicture}(0,0)(15,6)
317
318         \rput(2,5){\rnode{weiter_2}{\psframebox{$\bigotimes$}}}
319
320         \rput(7,5){\rnode{random2}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=green]{\parbox{8.5cm}{
321           Ausw"urfeln der Zufallszahlen:\\
322           $R_5$, $R_6$, $R_7$ entsprechend Reichweitenverteilung
323         }}}}
324         \ncline[]{->}{weiter_2}{random2}
325
326         \rput(7,3){\rnode{koord_wahl_i}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=green]{\parbox{7cm}{
327           Bestimmung von $\vec{r}(k,l,m)$ durch Abbildung von $R_5$, $R_6$ und $R_7$ auf $k$, $l$ und $m$
328         }}}}
329         \ncline[]{->}{random2}{koord_wahl_i}
330
331         \rput(7,1){\rnode{inc_c}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=green]{\parbox{7cm}{
332           Erh"ohung des Kohlenstoffs im Volumen $\vec{r}(k,l,m)$
333         }}}}
334         \ncline[]{->}{koord_wahl_i}{inc_c}
335
336         \rput(12,1){\rnode{weiter_3}{\psframebox{$\bigotimes$}}}
337         \ncline[]{->}{inc_c}{weiter_3}
338
339       \end{pspicture}
340       \caption{{\em NLSOP} Ablaufschema Teil 2: Einbau des Kohlenstoffs.}
341       \label{img:flowchart2}
342       \end{center}
343       \end{figure}
344
345     Nachdem das Ion die Sto"sprozesse beendet hat, kommt es im Target zur Ruhe.
346     Die Wahl des Volumens, in das das Ion eingebaut wird, ist analog zur Wahl der Ermittlung des zu sto"senden Volumens.
347     Lediglich die Implantationstiefe wird durch eine Zufallszahl bestimmt, deren Wahrscheinlichkeitsverteilung dem Konzentrationsprofil entspricht.
348     Zur Erzeugung der entsprechenden Zufallszahl wird wieder die in \ref{subsubsection:verwerf_meth} beschriebene Verwerfungsmethode benutzt.
349     In dem ausgew"ahlten W"urfel $\vec{r}(k,l,m)$ wird der Z"ahler f"ur den Kohlenstoff um eins erh"oht.
350
351     \subsection{Diffusion und Sputtern}
352
353       \begin{figure}[h]
354       \begin{center}
355       \begin{pspicture}(0,0)(15,14)
356
357         \rput(7,14){\rnode{weiter_4}{\psframebox{$\bigotimes$}}}
358
359         \rput(11,12){\rnode{is_d}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Durchlauf Vielfaches von $d_v$?}}}
360         \ncline[]{->}{weiter_4}{is_d}
361
362         \rput(3,12){\rnode{is_s}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=red]{Durchlauf vielfaches von $n$?}}}
363         \ncline[]{->}{is_d}{is_s}
364         \lput*{0}{nein}
365
366         \rput(11,10){\rnode{loop_d}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Gehe alle/verbleibende Volumina durch}}}
367         \ncline[]{->}{is_d}{loop_d}
368         \lput*{0}{ja}
369
370         \rput(11,9){\rnode{d_is_amorph}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Volumen $\vec{r}(k,l,m)$ amorph?}}}
371         \ncline[]{->}{loop_d}{d_is_amorph}
372         \rput(14.9,9){\pnode{h10}}
373         \ncline[]{-}{d_is_amorph}{h10}
374         \lput*{0}{nein}
375
376         \rput(11,7){\rnode{loop_dn}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{\parbox{4cm}{
377           Gehe alle/verbleibende\\
378           direkte Nachbarn durch
379         }}}}
380         \ncline[]{->}{d_is_amorph}{loop_dn}
381         \lput*{0}{ja}
382
383         \rput(11,6){\rnode{is_cryst}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Nachbarvolumen kristallin?}}}
384         \ncline[]{->}{loop_dn}{is_cryst}
385
386         \rput(12,4){\rnode{transfer}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{\parbox{3.5cm}{
387           "Ubertrage den Anteil $d_r$ des Kohlenstoffs
388         }}}}
389         \ncline[]{->}{is_cryst}{transfer}
390         \lput*{0}{ja}
391
392         \rput(11,3){\rnode{check_dn}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Alle Nachbarn durch?}}}
393         \ncline[]{->}{transfer}{check_dn}
394         \rput(9.5,5){\pnode{h1}}
395         \ncline[]{is_cryst}{h1}
396         \rput(9.5,3.2){\pnode{h2}}
397         \ncline[]{->}{h1}{h2}
398         \lput*{0}{nein}
399         \rput(14,3){\pnode{h3}}
400         \ncline[]{check_dn}{h3}
401         \rput(14,7){\pnode{h4}}
402         \ncline[]{h3}{h4}
403         \lput*{0}{nein}
404         \ncline[]{->}{h4}{loop_dn}
405
406         \rput(11,1){\rnode{check_d}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Alle Volumina durch?}}}
407         \ncline[]{->}{check_dn}{check_d}
408         \lput*{0}{ja}
409         \rput(14.9,1){\pnode{h5}}
410         \ncline[]{check_d}{h5}
411         \rput(14.9,10){\pnode{h6}}
412         \ncline[]{h5}{h6}
413         \lput*{0}{nein}
414         \ncline[]{->}{h6}{loop_d}
415         \rput(7,1){\pnode{h7}}
416         \ncline[]{check_d}{h7}
417         \lput*{0}{ja}
418         \rput(7,11){\pnode{h8}}
419         \ncline[]{h7}{h8}
420         \rput(5.4,11.9){\pnode{h9}}
421         \ncline[]{->}{h8}{h9}
422
423         \rput(3,9){\rnode{s_p}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=red]{\parbox{7cm}{
424           Sputterroutine:\\
425           \begin{itemize}
426             \item Kopiere Inhalt von Ebene $i$ nach\\
427                   Ebene $i-1$ f"ur $i = Z,Z-1,\ldots ,2$
428             \item Setze Status jedes Volumens in Ebene $Z$ kristallin
429             \item Setze Kohlenstoff jedes Volumens in Ebene $Z$ auf Null
430           \end{itemize}
431         }}}}
432         \ncline[]{->}{is_d}{loop_d}
433         \lput*{0}{ja}
434         \ncline[]{->}{is_s}{s_p}
435
436         \rput(3,5){\rnode{check_n}{\psframebox{\parbox{4cm}{
437           Anzahl Durchl"aufe entsprechend Dosis?
438         }}}}
439         \ncline[]{->}{s_p}{check_n}
440
441         \rput(5,3){\rnode{start}{\psframebox{{\em NLSOP} Start}}}
442         \ncline[]{->}{check_n}{start}
443         \lput*{0}{nein}
444         \rput(1,3){\rnode{stop}{\psframebox{{\em NLSOP} Stop}}}
445         \ncline[]{->}{check_n}{stop}
446         \lput*{0}{ja}
447
448       \end{pspicture}
449       \caption{{\em NLSOP} Ablaufschema Teil 2: Diffusion (gelb) und Sputtervorgang (rot).}
450       \label{img:flowchart3}
451       \end{center}
452       \end{figure}
453
454     Im Folgenden wird auf die Realisierung der Diffusion eingegangen.
455     Die Simulation geht der Reihe nach alle Volumina durch.
456     Im Falle eines amorphen Volumens werden aus direkt anliegenden kristallinen Volumina ein Anteil $d_r$ des Kohlenstoffs abgezogen und zu dem amorphen Volumen addiert.
457     Da nur ganze Atome "ubertragen werden k"onnen, wird der Betrag auf die n"achst kleinere ganze Zahl abgerundet.
458     Dieser Diffusionsvorgang wird alle $d_v$ Schritte ausgef"uhrt.
459
460     Hier sei angemerkt, dass die Simulation prinzipiell auch Diffusion von Kohlenstoff innerhalb kristalliner Volumina behandeln kann.
461     Die erste Idee war, dass Kohlenstoff in kristalline Gebiete diffundieren kann, die bereits einen gro"sen Anteil ihres Kohlenstoffs an einen amorphen Nachbarn abgegeben haben.
462     Da jedoch das Konzentrationsprofil durch Diffusionsprozesse nicht ver"andert wird \cite{goetz}, wurde die rein kristalline Diffusion in $z$-Richtung ausgeschlossen.
463     %Da weiterhin die Implantationsprofile von experimentellen Messungen und {\em TRIM}-Simulationen recht gut "ubereinstimmen, kann Diffusion in $z$-Richtung tats"achlich ausgeschlossen werden.
464     Eine Vorzugsrichtung der Diffusion ist unphysikalisch, weshalb die gesamte Diffusion innerhalb kristalliner Gebiete in den folgenden Simulationen ausgeschlossen wurde.
465     Als Relikt bleibt die Option die Diffusion auch vom Kristallinen ins Amorphe in $z$-Richtung auszuschalten.
466     Setzt sich die Diffusionsrate aus einem Beitrag $d_r^{x,y}$ f"ur Diffusion in der Ebene und einem Beitrag $d_r^z$ f"ur Diffusion in $z$-Richtung zusammen, so kann durch diese Option $d_r^z = 0$ gesetzt werden.
467
468     Die Sputterroutine wird nach der Dosis, die einem Abtrag von einer Ebene von Zellen ($3 \, nm$) entspricht, ausgef"uhrt und bewirkt, dass diese oberste Ebene entfernt wird.
469     Der Zusammenhang zwischen Sputterrate $S$ und Anzahl der Simulationsdurchl"aufe $n$ ist demnach wie folgt gegeben:
470     \begin{equation}
471     S = \frac{(3 \, nm)^3 XY }{n} \quad \textrm{.}
472     \end{equation}
473     Nach $n$ Simulationsdurchl"aufen wird eine kohlenstofffreie, kristalline Ebene von unten her eingeschoben.
474     Der Inhalt der Ebene $i$ wird auf die Ebene $i-1$ (f"ur $i = Z, Z-1, \ldots, 2$) "uberschrieben.
475     Die Information der obersten Ebene $i=1$ geht dabei verloren.
476     Diese entspricht der abgetragenen Ebene.
477     Die Ebene $i=Z$ erh"alt kristallinen Status und die Kohlenstoffkonzentration Null.
478
479     Dies macht allerdings nur Sinn, wenn das Implantationsprofil und die nukleare Bremskraft f"ur die Ebenen tiefer $Z$ auf Null abgefallen sind, um kristalline, kohlenstofffreie Ebenen zu garantieren.
480     Daher wird das Sputtern nur in Simulationen "uber gro"se Tiefenbereiche ber"ucksichtigt.
481
482     Die Sputterrate kann durch {\em TRIM} beziehungsweise Messungen des Kohlenstoffprofils bestimmt werden.
483     Bei den gegebenen Bedingungen werden ungef"ahr $50 \, nm$ des Targets bei einer Dosis von $4,3 \times 10^{-17} cm^{-2}$ abgetragen \cite{basic_phys_proc}.
484
485   \section{Simulierte Tiefenbereiche}
486   \label{section:sim_tiefenbereich}
487
488   Wie bereits erw"ahnt wurden zwei verschiedene Versionen des Programms entwickelt. Sie simulieren zwei unterschiedlich gro"se Tiefenbereiche, welche im Folgenden Simulationsfenster genannt werden.
489
490   Da in erster Linie der Selbstorganisationsprozess der lamellaren Ausscheidungen an der vorderen Grenzfl"ache der amorphen $SiC_x$-Schicht simuliert werden soll, behandelt die erste Version den Tiefenbereich von der Oberfl"ache bis zum Beginn der durchgehend amorphen Schicht.
491   Dies entspricht einer Tiefe von ungef"ahr $300 \, nm$ und somit einer Anzahl von $Z=100$ W"urfeln in $z$-Richtung.
492
493   Wie in Abbildung \ref{img:bk_impl_p} gut zu erkennen ist, kann in diesem Tiefenbereich sowohl die Reichweitenverteilung, als auch die nukleare Bremskraft durch eine von der Tiefe linear abh"angige Funktion gen"ahert werden.
494   Daher ergeben sich "Anderungen zu den im vorigen Abschnitt erkl"arten Methoden zur Wahl des Volumens, in dem ein Sto"sprozess beziehungsweise eine Konzentrationserh"ohung stattfindet.
495
496   Die Zufallszahl $z$, die auf die Tiefenkoordinate $m$ abgebildet wird, muss der Verteilung $p(z)dz = (sz + s_0)dz$ gen"ugen.
497   Dabei beschreiben $s$ und $s_0$ die linear gen"aherte nukleare Bremskraft.
498   Die Transformation wird wie in Abschnitt \ref{subsubsection:lin_g_p} beschrieben durchgef"uhrt.
499   Dasselbe betrifft die Wahl der Tiefenkoordinate f"ur den Einbau des Kohlenstoffatoms.
500   Anstatt der Wahrscheinlichkeitsverteilung der nuklearen Bremskraft entsprechend, wird eine Verteilung entsprechend dem linear gen"aherten Implantationsprofil verwendet.
501   Au"serdem wird nicht nach jedem Durchlauf ein Ion im Simulationsbereich zur Ruhe kommen.
502   Da das Maximum der Reichweitenverteilung sehr viel tiefer liegt, werden die meisten Ionen au"serhalb des Simulationsfensters liegen bleiben.
503   Daher wird immer nur dann ein Ion eingebaut, wenn der im Simulationsbereich vorhandene Kohlenstoff $n_c$ kleiner als die Anzahl der Durchl"aufe $n$ multipliziert mit dem Verh"altnis der Fl"ache der Kohlenstoffverteilungskurve $c_C(z)$ bis $300 \, nm$ zur Fl"ache der gesamten Kohlenstoffverteilungskurve ist.
504   \begin{equation}
505   n_c < n \frac{\int_0^{300 nm} c_C(z) dz}{\int_0^{\infty} c_C(z) dz}
506   \end{equation}
507
508   Da sowohl die Reichweitenverteilung, als auch die nukleare Bremskraft in Ebenen gr"osser $Z$ ungleich Null ist, kann Sputtern nicht beachtet werden.
509   Der Diffusionsprozess ist uneingeschr"ankt m"oglich.
510   In der ersten Version wurde der Einfluss der amorph/kristallinen Struktur direkter Nachbarn auf die Rekristallisation nach \eqref{eq:p_ac_genau} noch nicht beachtet.
511   Die Rekristallisationswahrscheinlichkeit ergibt sich hier aus \eqref{eq:p_ac_local}.
512   Die Rechenzeit einer Simulation mit $3 \times 10^7$ Durchl"aufen, einem $64 \times 64 \times 100$ gro"sem Target, einem Treffer pro Durchlauf und Diffusion alle $100$ Schritte, betr"agt auf einem $900 Mhz$ {\em Pentium 3} ungef"ahr $3$ Stunden.
513
514   In der zweiten Version wird die gesamte Implantationstiefe simuliert.
515   Das Simulationsfenster geht von $0-700 \, nm$.
516   Dies entspricht einer Anzahl $Z=233$ von W"urfeln in $z$-Richtung.
517
518   Die Tiefenkoordinaten f"ur den Sto"sprozess und die Kohlenstoffinkorporation werden, wie in Abschnitt \ref{subsection:a_r_step} beschrieben, nach der Verwerfungsmethode entsprechend dem nuklearen Bremskraftprofil und der Reichweitenverteilung gewonnen.
519
520    Da sowohl der nukleare Energieverlust als auch die Kohlenstoffkonzentration in Ebenen gr"osser $Z$ auf Null abgesunken ist, kann die Sputterroutine ausgef"uhrt werden.
521    Der Diffusionsprozess ist ebenfalls uneingeschr"ankt m"oglich.
522    Auf dem selben Rechner ben"otigt eine Simulation f"ur ein Target der oben genannten Ausdehnung, einer Anzahl von $100$ Treffern pro Ion und $160 \times 10^6$ Schritten mit Diffusion alle $10^6$ Schritte ungef"ahr $3$ Tage.
523
524   \section{Test der Zufallszahlen}
525
526   Die Simulation kann auf zwei verschiedene Arten die ben"otigten Zufallszahlen beziehen.
527   Die erste M"oglichkeit ist das Lesen der Zufallszahlen aus einer speziellen, vom Betriebssystem bereitgestellten Zeichendatei {\em /dev/urandom}.
528   Das Betriebssystem generiert aus dem Rauschen einiger Treiber, zum Beispiel den Treibern f"ur Tastatur, Maus und Festplatte einen Vorrat an Entropie.
529   Eine Zufallszahl wird durch Anwendung des {\em SHA}-Algorithmus (kurz f"ur {\bf S}ecure {\bf H}ash {\bf A}lgorithm) auf den Inhalt des Entropievorrates erzeugt.
530   Eine zweite M"oglichkeit ist die Verwendung des Zufallszahlengenerators der Standardbibliothek der Programmiersprache {\em C}.
531   Dieser generiert die Zufallszahlensequenz nach der im Abschnitt \ref{subsection:rand_gen} vorgestellten linearen Kongruenzmethode.
532   Das zuletzt genannte Verfahren ist damit unabh"angig vom Betriebssystem.
533
534   F"ur vern"unftige Ergebnisse muss die Qualit"at der Zufallszahlen gesichert sein.
535   Es gibt viele statistische Tests um eine Zahlenfolge auf ihre Verteilung beziehungsweise Zuf"alligkeit zu "uberpr"ufen.
536   Die am h"aufigsten verwendeten Testverfahren sind der $\chi^2$-Test und der Kolmogorov-Smirnov-Test \cite{knuth}.
537   
538   Im Folgenden soll nur kontrolliert werden, dass f"ur gleichverteilte Zufallszahlen keine lokalen Anh"aufungen von Zahlen existieren.
539   Desweiteren werden die Methoden zur Erzeugung spezieller Wahrscheinlichkeitsverteilungen durch Vergleich der H"aufigkeit auftretender Zufallszahlen mit dem gew"unschten Verlauf "uberpr"uft.
540
541   Dazu werden f"ur die unterschiedlichen Verteilungen jeweils 10 Millionen Zufallszahlen zwischen $0$ und $232$ erzeugt und auf die n"achst kleinere ganze Zahl abgerundet.
542   Ein einfaches Scriptprogramm ({\em random\_parse.sh}, Anhang \ref{section:hilfsmittel}) z"ahlt die H"aufigkeit der einzelnen Zufallszahlen in der Zufallszahlensequenz.
543
544   \printimg{h}{width=13cm}{random.eps}{H"aufigkeit ganzzahliger Zufallszahlen unterschiedlicher Wahrscheinlichkeitsverteilungen. F"ur jede Verteilung wurden 10 Millionen Zufallszahlen ausgew"urfelt.}{img:random_distrib}
545   Abbildung \ref{img:random_distrib} zeigt die H"aufigkeit von Zufallszahlen zwischen $0$ und $232$, abgerundet auf die n"achst kleinere ganze Zahl, f"ur unterschiedliche Wahrscheinlichkeitsverteilungen.
546   Die blauen Punkte zeigen die Gleichverteilung nach \eqref{eq:gleichverteilte_r}.
547   Man erkennt keine lokalen Anh"aufungen.
548   Die roten Punkte zeigen die H"aufigkeit der Zufallszahlen bei Verwendung einer linear steigenden Wahrscheinlichkeitsverteilung wie in Abschnitt \ref{subsubsection:lin_g_p} beschrieben.
549   Dabei wurde $a=1$, $b=0$ und $Z=233$ gew"ahlt.
550   Wie erwartet zeigen die Punkte einen linearen Verlauf.
551   Die H"aufigkeiten, der mit der Verwerfungsmethode erzeugten Zufallszahlen entsprechend der nuklearen Bremskraft (gr"un) und dem Implantationsprofil (schwarz), stimmen sehr gut mit den Profilen in Abbildung \ref{img:bk_impl_p} "uberein.
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