2 \label{chapter:simulation}
4 Im Folgenden soll die Implementation der Monte-Carlo-Simulation nach dem vorangegangenen Modell diskutiert werden.
5 Die Simulation tr"agt den Namen {\em NLSOP}, was f"ur die Schlagw"orter {\bf N}ano, {\bf L}amellar und {\bf S}elbst{\bf o}rganisations{\bf p}rozess steht.
6 Die Simulation ist in der Programmiersprache {\em C} \cite{kerningham_ritchie} geschrieben.
7 Der Simulationscode wurde auf Computern der {\em IA32}-Prozessorarchitektur mit dem {\em GNU C Compiler} auf einem Linux Bestriebssystem "ubersetzt und betrieben.
9 Ziel der Simulation ist die Validierung des Modells anhand der experimentellen Ergebnisse, wie sie in Abbildung \ref{img:xtem_img} vorliegen.
10 Es wurden zwei Versionen der Simulation erstellt, die unterschiedliche Tiefenbereiche abdecken.
11 Die erste Version beschreibt den Bereich von der Oberfl"ache des Targets bis zum Beginn der durchgehend amorphen $SiC_x$-Schicht, also den Tiefenbereich von $0$ bis $300 \, nm$.
12 Nachdem eine Beschreibung der Bildung lamellarer amorpher Ausscheidungen mit dieser Version sehr gut funktioniert hat, wurde eine zweite Version entwickelt, die den gesamten Implantationsbereich betrachtet.
13 Auf weitere Unterschiede in den zwei Versionen wird in einem gesonderten Abschnitt genauer eingegangen.
15 Die Simulation kann grob in drei Abschnitte unterteilt werden.
16 Im ersten Schritt werden die Kollisionen eines Ions im Target und die daraus resultierende Amorphisierung beziehungsweise Rekristallisation eines Gebietes simuliert.
17 Nachdem das Ion seine Energie durch St"o"se im Target abgegeben hat kommt es zur Ruhe.
18 Der Einbau des Kohlenstoffs im Target wird im zweiten Schritt ausgef"uhrt.
19 Als letztes wird die Diffusion von Kohlenstoff von kristallinen in amorphe Gebiete und der Sputtervorgang realisiert.
21 Im Folgenden werden der Simulationsalgorithmus und die dazu ben"otigten Annahmen besprochen.
22 Ein weiterer Abschnitt besch"aftigt sich mit der Extraktion von, f"ur die Simulation notwendigen, Informationen aus {\em TRIM}-Ergebnissen.
23 Das Kapitel schlie"st mit dem Test der verwendeten Zufallszahlen.
25 \section{Annahmen der Simulation}
27 \subsection{Unterteilung des Targets}
28 \label{subsection:unterteilung}
30 Wie in Abbildung \ref{img:sim_gitter} zu sehen ist, wird das Target in W"urfel mit der Seitenl"ange $a = 3 \, nm$ zerlegt.
31 \printimg{h}{width=12cm}{gitter_oZ.eps}{Unterteilung des Targets in W"urfel mit $3 \, nm$ Kantenl"ange. Jedes Volumen ist entwerder amorph (rot) oder kristallin (blau) und protokolliert die lokale Kohlenstoffkonzentration.}{img:sim_gitter}
32 Die Anzahl der W"urfel in $x$, $y$ und $z$ Richtung ist frei einstellbar.
33 Ein solches Volumen kann durch den Ortsvektor $\vec{r}(k,l,m)$, wobei $k$, $l$ und $m$ ganze Zahlen sind, adressiert werden.
34 Jeder W"urfel hat entweder den Zustand amorph (rot), oder ist kristallin (blau).
35 Die lokale Anzahl der implantierten Kohlenstoffatome wird ebenfalls protokolliert.
37 Die Ausdehnung des Targets in $x,y$-Richtung ist im Gegensatz zur Tiefe sehr gro"s und kann als unendlich ausgedehnt angenommen werden.
38 Um die Anzahl der W"urfel in diese Richtungen in der Simulation, aus Gr"unden der Rechenzeit, m"oglichst klein halten zu k"onnen, werden periodische Randbedingungen in der $x,y$-Ebene verwendet.
40 In Version 1 der Simulation wurden $x = y = 50$ beziehungsweise $x = y = 64$ und $z = 100$ gesetzt.
41 In Version 2 sind $x = y = 64$ und $z = 233$.
43 Zum besseren Vergleich der Simulationsergebnisse mit den experimentell erhaltenen TEM-Aufnahmen k"onnen Querschnitte (Cross-Sections) der amorph/kristallinen Struktur als Bitmap ausgegeben werden.
44 Kristalline W"urfel sind schwarz und amorphe W"urfel wei"s dargestellt.
45 F"ur die $x-z$- beziehungsweise $y-z$-Querschnitte besteht die M"oglichkeit "uber mehrere Querschnitte zu mitteln.
46 Die selbe Mittelung "uber den amorph/kristallinen Zustand ist bei den TEM-Aufnahmen, der auf eine Dicke von $100$ bis $300 \, nm$ pr"aparierten Proben der Fall.
48 \subsection{Amorphisierung und Rekristallisation}
49 \label{subsection:a_and_r}
51 Nach dem in Kapitel \ref{chapter:modell} vorgestellten Modell gibt es drei statistisch unabh"angige zur Amorphisierung beitragende Mechanismen.
52 Eine lokale Wahrscheinlichkeit f"ur die Amorphisierung $p_{c \rightarrow a}$ eines beliebigen kristallinen Volumens am Ort $\vec{r}$ setzt sich aus den drei Einzelwahrscheinlichkeiten f"ur die ballistische, kohlenstoffinduzierte und spannungsunterst"utzte Amorphisierung zusammen.
53 Sie wird wie folgt berechnet:
55 p_{c \rightarrow a}(\vec r) = p_{b} + p_{c} c_C (\vec r) + \sum_{amorphe \, Nachbarn} \frac{p_{s} \, c_C (\vec{r'})}{(\vec r - \vec{r'})^2}
59 Der Beitrag der ballistischen Amorphisierung besteht nur aus der Konstanten $p_b$.
60 Die Wahrscheinlichkeit f"ur die ballistische Amorphisierung in einem Sto"s ist unabh"angig vom Ort und somit eine Konstante.
61 Sie hat die Einheit $1$.
62 Die h"ohere Wahrscheinlichkeit, im Maximum der nuklearen Bremskraft zu amorphisieren, kommt durch die h"ohere Anzahl an St"o"sen in diesem Tiefenbereich zustande.
63 Wieso dieser Beitrag in dieser Art sinnvoll ist, wird in Abschnitt \ref{subsection:parse_trim_coll} gekl"art.
65 Die Wahrscheinlichkeit f"ur die kohlenstoffinduzierte Amorphisierung wird proportional zur lokalen Kohlenstoffkonzentration $c_C$ angenommen.
66 $p_c$ ist die dazugeh"orige Proportionalit"atskonstante und hat demnach die Einheit $[p_c] = m^3$.
68 Der Beitrag der Druckspannungen setzt sich aus den einzelnen Beitr"agen amorpher Gebiete in der selben Ebene zusammen, da nur diese unrelaxierte Spannungen aus"uben.
69 Dabei ist der Wahrscheinlichkeitsbeitrag eines amorphen Volumens bei $\vec{r'}$ auf das Volumen am Ort $\vec{r}$ wieder proportional zur lokalen Kohlenstoffkonzentration in $\vec{r'}$.
70 Dies ist offensichtlich, denn je mehr Kohlenstoff in einem amorphen Volumen vorhanden ist, desto gr"o"ser ist die ausgehende Spannung auf die Umgebung.
71 Gleichzeitig ist der Beitrag indirekt proportional zum Abstandsquadrat $(\vec r - \vec{r'})^2$, da der Druck quadratisch mit der Entfernung abf"allt.
72 $p_s$ ist eine Proportionalit"atskonstante und hat somit die Einheit $[p_s] = m^5$.
74 Die Rekristallisationswahrscheinlichkeit amorpher Gebiete $p_{a \rightarrow c}$ sollte sich genau entgegensetzt zu $p_{c \rightarrow a}$ verhalten und wird deshalb als
76 p_{a \rightarrow c}(\vec r) = 1 - p_{c \rightarrow a}(\vec r)
80 Jedoch muss die direkte Nachbarschaft des Volumens ber"ucksichtigt werden.
81 Da es sich bei den betrachteten Temperaturen allein um ionenstrahlinduzierte, epitaktische Rekristallisation handelt und einschr"ankend hier nur der Temperaturbereich bis $250 \, ^{\circ} \mathrm{C}$ behandelt wird, in dem keine merkliche ionenstrahlinduzierte Nukleation innerhalb amorpher Bereiche auftritt \cite{basic_phys_proc}, sollte f"ur die Rekristallisation die Strukturinformation einer kristallinen Nachbarschaft notwendig sein.
82 Mit einer zunehmenden Anzahl von amorphen Nachbarn sollte die Rekristallisationswahrscheinlichkeit also sukzessive abnehmen und ganz verschwinden, wenn kein einziger kristalliner Nachbar vorhanden ist.
83 Mit der im Abschnitt \ref{subsection:unterteilung} beschriebenen Unterteilung hat ein Volumen genau sechs Grenzfl"achen, von denen die Rekristallisationsfront ausgehen kann.
84 Damit kann man \eqref{eq:p_ac_local} neu schreiben und man erh"alt:
86 p_{a \rightarrow c}(\vec r) = (1 - p_{c \rightarrow a}(\vec r)) \Big(1 - \frac{\sum_{direkte \, Nachbarn} \delta (\vec{r'})}{6} \Big) \, \textrm{,}
91 \delta (\vec r) = \left\{
93 1 & \textrm{wenn Gebiet bei $\vec r$ amorph} \\
100 Die Proportionalit"atskonstanten $p_b$, $p_c$ und $p_s$ sind bisher experimentell nicht zug"anglich und werden daher als frei w"ahlbare Simulationsparameter angenommen.
101 Es stellt sich also die Frage, ob ein Satz von Parametern existiert, der es erlaubt, experimentell gefundene Verteilungen, wie sie in Abbildung \ref{img:xtem_img} gezeigt werden, durch die Simulation zu reproduzieren.
102 Durch Variation der gefundenen Parameter k"onnen dann die unterschiedlichen Einfl"usse der verschiedenen Amorphisierungsmechanismen untersucht und der Selbstorganisationsprozess verstanden werden.
104 \subsection{Diffusion}
106 Weiterhin sieht das Modell die M"oglichkeit der Diffusion von Kohlenstoff aus kristallinen in umliegende amorphe Volumina vor.
107 In Zeitintervallen $T_{Diff}$ wird ein Anteil $d_r$ des Kohlenstoffs eines kristallinen Volumens in das benachbarte amorphe Volumen transferiert.
108 Da von einem konstanten Strahlstrom ausgegangen wird, kann die Zeit $T_{Diff}$ auf eine Anzahl von implantierten Ionen $d_v$ abgebildet werden.
109 Die Diffusion des Kohlenstoffs von kristallinen in amorphe Gebiete wird also durch die zwei Parameter $d_r$ und $d_v$ gesteuert.
110 Die Parameter sind ebenfalls frei w"ahlbar.
111 Aus Gr"unden der Rechenzeit sollte die Diffusionsroutine nicht nach jedem implantierten Ion ausgef"uhrt werden.
112 Diffusion innerhalb kristalliner Gebiete sowie Diffusion innerhalb amorpher Gebiete wird ausgeschlossen.
113 Von einer m"oglichen Kohlenstoff"ubers"attigung im Amorphen wird nicht ausgegangen, da der Kohlenstoff in $a-Si$ gut l"oslich ist.
114 Da die L"oslichkeit von Kohlenstoff in $c-Si$ nahezu Null ist, wird der Kohlenstoff immer bestrebt sein von dem kristallinen Bereich in die amorphen Gebiete zu diffundieren.
116 \subsection{Sputtern}
118 Es wird von einer, "uber der Oberfl"ache gleichm"a"sig verteilten und w"ahrend des Implantationsvorganges konstanten Sputterrate ausgegangen.
119 Aufgrund der Unterteilung des Targets in W"urfel mit der Seitenl"ange $3 \, nm$ muss diese Sputterrate in Einheiten einer Dosis, welche $3 \, nm$ sputtert, angegeben werden.
120 Jedesmal, nachdem das Programm diese Dosis durchlaufen hat, wird die Sputterroutine aufgerufen, welche die oberste Targetebene abtr"agt.
122 \section{Statistik von Sto"sprozessen}
124 F"ur die Simulation ben"otigt man die Statistik der Sto"sprozesse des Kohlenstoffs im Siliziumtarget unter den gegebenen Implantationsbedingungen.
125 Dabei sind insbesondere die nukleare Bremskraft f"ur den Amorphisierungs- beziehungsweise Rekristallisationsschritt und das Implantationsprofil f"ur den Einbau des Kohlenstoffs ins Siliziumtarget von Interesse.
126 {\em NLSOP} benutzt die Ergebnisse des {\em TRIM}-Programms, welches die Wechelswirkung der Ionen mit dem Target simuliert und somit ein geeignetes Bremskraft- und Implantationsprofil sowie eine genaue Buchf"uhrung "uber die Sto"skaskaden bereitstellt.
127 Durch die Abbildung von Zufallszahlen auf die so erhaltenen Verteilungen k"onnen die eigentlichen physikalischen Abl"aufe sehr schnell und einfach behandelt werden.
128 Im Folgenden wird auf die Ermittlung einiger f"ur {\em NLSOP} wichtiger Statistiken eingegangen.
130 \subsection{Implantationsprofil und nukleare Bremskraft}
132 \printimg{h}{width=13cm}{trim92_2.eps}{Von {\em TRIM 92} ermittelte Reichweitenverteilung und tiefenabh"angige Bremskr"afte f"ur $180 \, keV$ $C^+ \rightarrow Si$.}{img:bk_impl_p}
133 \printimg{!h}{width=12cm}{trim_impl.eps}{Durch {\em SRIM 2003.26} berechnetes Implantationsprofil f"ur $180 \, keV$ $C^+ \rightarrow Si$.}{img:trim_impl}
135 Abbildung \ref{img:bk_impl_p} zeigt die von {\em TRIM 92} ermittelte nukleare Bremskraft sowie das Kohlenstoffkonzentrationsprofil f"ur die in dieser Arbeit verwendeten Parameter.
136 Die gestrichelte Linie markiert das Ionenprofilmaximum bei $500 \, nm$.
137 Sputtereffekte und Abweichungen aufgrund der kontinuierlich ver"anderten Targetzusammensetzung w"ahrend der Hochdosisimplantation werden von {\em TRIM} allerdings nicht ber"ucksichtigt.
138 Die Profile werden von {\em TRIM} selbst in separate Dateien geschrieben.
139 Tauscht man die Kommata (Trennung von Ganzzahl und Kommastelle) durch Punkte aus, so kann {\em NLSOP} diese Dateien auslesen und die Profile extrahieren.
141 In Abbildung \ref{img:trim_impl} ist das f"ur diese Simulation verwendete, von einer neueren {\em TRIM}-Version ({\em SRIM 2003.26}) berechnete Implantationsprofil abgebildet.
142 Dieses Profil verwendet {\em NLSOP} zum Einbau des Kohlenstoffs.
143 Das Implantationsmaximum liegt hier bei ungef"ahr $530 \, nm$.
144 Auff"allig ist eine Verschiebung des Maximums um $30 \, nm$ zu dem Maximum aus Abbildung \ref{img:bk_impl_p}.
145 Dies ist auf einen Unterschied in der Berechnung der elektronischen Bremskraft in den zwei {\em TRIM}-Versionen zur"uckzuf"uhren.
149 \subsection{Durchschnittliche Anzahl der St"o"se der Ionen und Energieabgabe}
150 \label{subsection:parse_trim_coll}
152 Weiterhin bietet {\em TRIM} die M"oglichkeit eine Datei Namens {\em COLLISION.TXT} anzulegen, in der s"amtliche Sto"skaskaden protokolliert sind.
153 Zu jedem Sto"s sind Koordinaten und Energie"ubertrag angegeben.
154 Mit dem Programm {\em parse\_trim\_collision} (Anhang \ref{section:hilfsmittel}) kann diese Datei ausgewertet werden.
155 Die daraus gewonnenen Erkenntnisse sollen im Folgenden diskutiert werden.
156 F"ur diese Statistik wurden die Sto"skaskaden von $8300$ implantierten Ionen verwendet.
158 \printimg{h}{width=12cm}{trim_coll.eps}{Auf das Maximum 1 skalierte tiefenabh"angige Energieabgabe (blau) und Anzahl der Kollisionen (rot).}{img:trim_coll}
159 Abbildung \ref{img:trim_coll} zeigt die nukleare Energieabgabe und die Anzahl der St"o"se von Ionen und Recoils in Abh"angigkeit von der Tiefe.
160 Beide Graphen wurden auf das selbe Maximum skaliert.
161 Man erkennt, dass diese nahezu identisch sind.
162 Die durchschnittliche Energieabgabe pro Sto"s ist also ungef"ahr konstant und unabh"angig von der Tiefe.
163 Dies ist der Grund f"ur die Wahl eines konstanten Beitrags der ballistischen Amorphisierung in Abschnitt \ref{subsection:a_and_r}.
164 Jeder Sto"s "ubertr"agt durchschnittlich einen konstanten Energiebetrag im Falle einer Kollision und tr"agt somit einen konstanten Anteil zur Amorphisierungswahrscheinlichkeit bei.
166 Desweiteren ist nun die Wahrscheinlichkeit f"ur eine Kollision in einer bestimmten Tiefe bekannt.
167 Sie ist proportional zur Anzahl der Kollisionen in dieser Tiefe.
168 Durch die h"ohere Anzahl der St"o"se im Maximum der nuklearen Bremskraft steigt die Wahrscheinlichkeit f"ur ein Ion in diesem Tiefenbereich zu amorphisieren.
170 \printimg{h}{width=12cm}{trim_nel.eps}{Durch {\em SRIM 2003.26} berechneter nuklearer Energieverlust f"ur $180 \, keV$ $C^+ \rightarrow Si$.}{img:trim_nel}
171 Zum Vergleich zeigt Abbildung \ref{img:trim_nel} die von {\em SRIM 2003.26} selbst berechnete nukleare Bremskraft.
172 Wie zu erwarten entspricht sie ungef"ahr dem Verlauf der in Abbildung \ref{img:trim_coll} gezeigten Energieabgabe.
173 Daher wird dieses Profil f"ur {\em NLSOP} zur Verteilung der Kollisionen im Target verwendet.
175 Ein implantiertes Ion und dadurch entstandene Recoils verursachen durchschnittlich eine Anzahl von $1088$ Kollisionen, bis alle Teilchen bis auf Energien unterhalb der Verlagerungsenergie f"ur $Si$ Atome von $15 \, eV$ \cite{ziegler_biersack_littmark} abgesunken sind.
176 Die Zahl der getroffenen W"urfel, also Volumina in denen ein Ion mindestens eine Kollision verursacht, ist sehr viel geringer.
177 Das Auswertungsprogramm {\em parse\_trim\_collision} z"ahlt durchschnittlich $75$ getroffene Volumina pro implantiertem Ion.
178 Genauer gesagt z"ahlt das Programm die Anzahl der Ebenen mit $3 \, nm$ H"ohe in denen Kollisionen verursacht werden.
179 Teilchenbahnen parallel zur Targetoberfl"ache verf"alschen diese Zahl.
180 Au"serdem werden mehrmalige Durchl"aufe der Ebenen nicht mitgez"ahlt.
181 Man sollte weiterhin beachten, dass Volumina in denen selbst nur eine Kollision stattfindet mitgez"ahlt werden, was allerdings nur sehr unwahrscheinlich zur Amorphisierung f"uhren wird.
182 Daher wird eine Trefferzahl von $h=100$ f"ur die Simulation angenommen.
184 \section{Simulationsalgorithmus}
186 Die Simulation kann in die drei Abschnitte Amorphisierung/Rekristallisation, Fremdatomeinbau und Diffusion/Sputtern gegliedert werden.
187 Die beschriebenen Prozeduren werden sequentiell abgearbeitet und beliebig oft durchlaufen.
188 Es wird mit einem komplett kristallinen und kohlenstofffreien Target gestartet.
190 Wenn, wie in Version 2 der Simulation, pro Durchlauf die Anzahl der simulierten Sto"skaskaden gleich der Anzahl der getroffenen Volumina ist, entspricht ein Durchlauf genau einem implantierten Ion.
191 Im Folgenden sei die Anzahl der W"urfel in $x$, $y$ und $z$ Richtung $X$, $Y$ und $Z$.
192 Eine Anzahl von $N$ Durchl"aufen ist damit "aquivalent zur Dosis $D$, die wie folgt gegeben ist:
194 D = \frac{N}{XY(3 \, nm)^2} \, \textrm{.}
195 \label{eq:dose_steps}
198 \subsection{Amorphisierung und Rekristallisation}
199 \label{subsection:a_r_step}
203 \begin{pspicture}(0,0)(15,18)
205 \rput(7,18){\rnode{start}{\psframebox{{\em NLSOP} Start}}}
207 \rput(7,16){\rnode{random1}{\psframebox{\parbox{8.5cm}{
208 Ausw"urfeln der Zufallszahlen:\\
209 $r_1$, $r_2$, $r_3$ entsprechend nuklearer Bremskraft\\
212 \ncline[]{->}{start}{random1}
214 \rput(7,14){\rnode{koord_wahl}{\psframebox{\parbox{7.5cm}{
215 Bestimmung von $\vec{r}(k,l,m)$ durch Abbildung von $r_1$, $r_2$ und $r_3$ auf $k$, $l$ und $m$
217 \ncline[]{->}{random1}{koord_wahl}
219 \rput(7,11){\rnode{berechnung_pca}{\psframebox{\parbox{12cm}{
220 Berechnung von $p_{c \rightarrow a}(\vec{r})$ und $p_{a \rightarrow c}(\vec{r})$:
223 p_{c \rightarrow a}(\vec r) & = & p_{b} + p_{c} \, c_{Kohlenstoff}(\vec r) + \sum_{amorphe \, Nachbarn} \frac{p_{s} \, c_{Kohlenstoff}(\vec{r'})}{(\vec r - \vec{r'})^2} \\
224 p_{a \rightarrow c}(\vec r) & = & (1 - p_{c \rightarrow a}(\vec r)) \Big(1 - \frac{\sum_{direkte \, Nachbarn} \delta (\vec{r'})}{6} \Big)
228 \delta (\vec r) = \left\{
230 1 & \textrm{wenn Gebiet bei $\vec r$ amorph} \\
231 0 & \textrm{sonst} \\
236 \ncline[]{->}{koord_wahl}{berechnung_pca}
238 \rput(7,8){\rnode{status}{\psframebox{Volumen $\vec{r}(k,l,m)$ amorph?}}}
239 \ncline[]{->}{berechnung_pca}{status}
241 \rput(4,6){\rnode{cryst}{\psframebox[linestyle=solid,linecolor=blue]{$r_4 \le p_{c \rightarrow a}$?}}}
242 \rput(10,6){\rnode{amorph}{\psframebox[linestyle=solid,linecolor=red]{$r_4 \le p_{a \rightarrow c}$?}}}
243 \ncline[]{->}{status}{cryst}
246 \ncline[]{->}{status}{amorph}
249 \rput(4,4){\rnode{do_amorph}{\psframebox[linestyle=solid,linecolor=red]{Setze Volumen amorph}}}
250 \ncline[]{->}{cryst}{do_amorph}
253 \rput(10,4){\rnode{do_cryst}{\psframebox[linestyle=solid,linecolor=blue]{Setze Volumen kristallin}}}
254 \ncline[]{->}{amorph}{do_cryst}
257 \rput(7,3){\rnode{check_h}{\psframebox{Anzahl der Durchl"aufe gleich Anzahl der Treffer pro Ion?}}}
259 \rput(7,6){\pnode{h_2}}
260 \ncline[]{amorph}{h_2}
261 \ncline[]{->}{h_2}{check_h}
264 \rput(7,6){\pnode{h_3}}
265 \ncline[]{cryst}{h_3}
266 \ncline[]{->}{h_3}{check_h}
269 \rput(14,3){\pnode{h_4}}
270 \rput(14,16){\pnode{h_5}}
271 \ncline[]{check_h}{h_4}
274 \ncline[]{->}{h_5}{random1}
276 \ncline[]{->}{do_cryst}{check_h}
277 \ncline[]{->}{do_amorph}{check_h}
279 \rput(7,1){\rnode{weiter_1}{\psframebox{$\bigotimes$}}}
280 \ncline[]{->}{check_h}{weiter_1}
284 \caption{{\em NLSOP} Ablaufschema Teil 1: Amorphisierung und Rekristallisation.}
285 \label{img:flowchart1}
289 Im ersten Schritt sollen die Kollisionen und die daraus resultierende Amorphisierung beziehungsweise Rekristallisation simuliert werden.
290 Das zugeh"orige Ablaufschema ist in Abbildung \ref{img:flowchart1} gezeigt.
291 Zun"achst muss das gesto"sene Volumen ausgew"ahlt werden.
292 Die St"o"se sind bez"uglich der $x$ und $y$ Richtung statistisch isotrop verteilt.
293 Es werden zwei gleichverteilte Zufallszahlen $r_1 \in [0,X[$ und $r_2 \in [0,Y[$ nach \eqref{eq:gleichverteilte_r} ausgew"urfelt.
294 Diese werden auf die ganzen Zahlen $k$ und $l$ abgebildet und bestimmen die Lage des getroffenen Volumens in der $x,y$-Ebene.
295 Eine weitere, mit Hilfe der Verwerfungsmethode aus Abschnitt \ref{subsubsection:verwerf_meth} erzeugte Zufallszahl $r_3 \in [0,Z[$ entsprechend der nuklearen Bremskraft, abgebildet auf die ganze Zahl $m$, legt die Tiefe des getroffenen Volumens fest.
296 Somit hat man den Ortsvektor $\vec{r}(k,l,m)$ f"ur den Amorphisierungs- oder Rekristallisationsvorgang bestimmt.
297 Nun kann die Amorphisierungs- beziehungsweise Rekristallisationswahrscheinlichkeit nach \eqref{eq:p_ca_local} beziehungsweise \eqref{eq:p_ac_genau} berechnet werden.
298 Eine weitere Zufallszahl $r_4 \in [0,1[$ entscheidet dann "uber einen eventuellen Statuswechsel des Volumens.
299 Es gibt folgende M"oglichkeiten:
301 \item Volumen $\vec{r}(k,l,m)$ ist kristallin.\\
302 Wenn $r_4$ kleiner gleich $p_{c \rightarrow a}$ ist, wechselt der Status zu amorph.
303 Ansonsten bleibt der Status unver"andert.
304 \item Volumen $\vec{r}(k,l,m)$ ist amorph.\\
305 Wenn $r_4$ kleiner gleich $p_{a \rightarrow c}$ ist, wechselt der Status zu kristallin.
306 Ansonsten bleibt der Status unver"andert.
309 Der gesamte Amorphisierungs- und Rekristallisationsschritt wird f"ur die Anzahl der getroffenen Volumina pro implantierten Ion $h$ wiederholt.
311 \subsection{Einbau des implantierten Kohlenstoffs ins Target}
315 \begin{pspicture}(0,0)(15,6)
317 \rput(2,5){\rnode{weiter_2}{\psframebox{$\bigotimes$}}}
319 \rput(7,5){\rnode{random2}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=green]{\parbox{8.5cm}{
320 Ausw"urfeln der Zufallszahlen:\\
321 $r_5$, $r_6$, $r_7$ entsprechend Reichweitenverteilung
323 \ncline[]{->}{weiter_2}{random2}
325 \rput(7,3){\rnode{koord_wahl_i}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=green]{\parbox{7cm}{
326 Bestimmung von $\vec{r}(k,l,m)$ durch Abbildung von $r_5$, $r_6$ und $r_7$ auf $k$, $l$ und $m$
328 \ncline[]{->}{random2}{koord_wahl_i}
330 \rput(7,1){\rnode{inc_c}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=green]{\parbox{7cm}{
331 Erh"ohung des Kohlenstoffs im Volumen $\vec{r}(k,l,m)$
333 \ncline[]{->}{koord_wahl_i}{inc_c}
335 \rput(12,1){\rnode{weiter_3}{\psframebox{$\bigotimes$}}}
336 \ncline[]{->}{inc_c}{weiter_3}
339 \caption{{\em NLSOP} Ablaufschema Teil 2: Einbau des Kohlenstoffs.}
340 \label{img:flowchart2}
344 Nachdem das Ion die Sto"sprozesse beendet hat, kommt es im Target zur Ruhe.
345 Die Wahl des Volumens, in das das Ion eingebaut wird, ist analog zur Wahl der Ermittlung des zu sto"senden Volumens.
346 Lediglich die Implantationstiefe wird durch eine Zufallszahl bestimmt, deren Wahrscheinlichkeitsverteilung dem Konzentrationsprofil entspricht.
347 Zur Erzeugung der entsprechenden Zufallszahl wird wieder die in \ref{subsubsection:verwerf_meth} beschriebene Verwerfungsmethode benutzt.
348 In dem ausgew"ahlten W"urfel $\vec{r}(k,l,m)$ wird der Z"ahler f"ur den Kohlenstoff um eins erh"oht.
350 \subsection{Diffusion und Sputtern}
354 \begin{pspicture}(0,0)(15,14)
356 \rput(7,14){\rnode{weiter_4}{\psframebox{$\bigotimes$}}}
358 \rput(11,12){\rnode{is_d}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Durchlauf Vielfaches von $d_v$?}}}
359 \ncline[]{->}{weiter_4}{is_d}
361 \rput(3,12){\rnode{is_s}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=red]{Durchlauf vielfaches von $n$?}}}
362 \ncline[]{->}{is_d}{is_s}
365 \rput(11,10){\rnode{loop_d}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Gehe alle/verbleibende Volumina durch}}}
366 \ncline[]{->}{is_d}{loop_d}
369 \rput(11,9){\rnode{d_is_amorph}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Volumen $\vec{r}(k,l,m)$ amorph?}}}
370 \ncline[]{->}{loop_d}{d_is_amorph}
372 \rput(11,7){\rnode{loop_dn}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{\parbox{4cm}{
373 Gehe alle/verbleibende\\
374 direkte Nachbarn durch
376 \ncline[]{->}{d_is_amorph}{loop_dn}
379 \rput(11,6){\rnode{is_cryst}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Nachbarvolumen kristallin?}}}
380 \ncline[]{->}{loop_dn}{is_cryst}
382 \rput(12,4){\rnode{transfer}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{\parbox{3.5cm}{
383 "Ubertrage den Anteil $d_r$ des Kohlenstoffs
385 \ncline[]{->}{is_cryst}{transfer}
388 \rput(11,3){\rnode{check_dn}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Alle Nachbarn durch?}}}
389 \ncline[]{->}{transfer}{check_dn}
390 \rput(9.5,5){\pnode{h1}}
391 \ncline[]{is_cryst}{h1}
392 \rput(9.5,3.2){\pnode{h2}}
393 \ncline[]{->}{h1}{h2}
395 \rput(14,3){\pnode{h3}}
396 \ncline[]{check_dn}{h3}
397 \rput(14,7){\pnode{h4}}
400 \ncline[]{->}{h4}{loop_dn}
402 \rput(11,1){\rnode{check_d}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Alle Volumina durch?}}}
403 \ncline[]{->}{check_dn}{check_d}
405 \rput(14.9,1){\pnode{h5}}
406 \ncline[]{check_d}{h5}
407 \rput(14.9,10){\pnode{h6}}
410 \ncline[]{->}{h6}{loop_d}
411 \rput(7,1){\pnode{h7}}
412 \ncline[]{check_d}{h7}
414 \rput(7,11){\pnode{h8}}
416 \rput(5.4,11.9){\pnode{h9}}
417 \ncline[]{->}{h8}{h9}
419 \rput(8,9){\pnode{h10}}
420 \rput(8,3){\pnode{h11}}
421 \ncline[]{-}{d_is_amorph}{h10}
422 \ncline[]{-}{h10}{h11}
424 \ncline[]{->}{h11}{check_d}
426 \rput(3,9){\rnode{s_p}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=red]{\parbox{7cm}{
429 \item Kopiere Inhalt von Ebene $i$ nach\\
430 Ebene $i-1$ f"ur $i = Z,Z-1,\ldots ,2$
431 \item Setze Status jedes Volumens in Ebene $Z$ kristallin
432 \item Setze Kohlenstoff jedes Volumens in Ebene $Z$ auf Null
435 \ncline[]{->}{is_d}{loop_d}
437 \ncline[]{->}{is_s}{s_p}
439 \rput(3,5){\rnode{check_n}{\psframebox{\parbox{4cm}{
440 Anzahl Durchl"aufe entsprechend Dosis?
442 \ncline[]{->}{s_p}{check_n}
444 \rput(5,3){\rnode{start}{\psframebox{{\em NLSOP} Start}}}
445 \ncline[]{->}{check_n}{start}
447 \rput(1,3){\rnode{stop}{\psframebox{{\em NLSOP} Stop}}}
448 \ncline[]{->}{check_n}{stop}
452 \caption{{\em NLSOP} Ablaufschema Teil 2: Diffusion (gelb) und Sputtervorgang (rot).}
453 \label{img:flowchart3}
457 Im Folgenden wird auf die Realisierung der Diffusion eingegangen.
458 Die Simulation geht der Reihe nach alle Volumina durch.
459 Im Falle eines amorphen Volumens werden aus direkt anliegenden kristallinen Volumina ein Anteil $d_r$ des Kohlenstoffs abgezogen und zu dem amorphen Volumen addiert.
460 Da nur ganze Atome "ubertragen werden k"onnen, wird der Betrag auf die n"achst kleinere ganze Zahl abgerundet.
461 Dieser Diffusionsvorgang wird alle $d_v$ Schritte ausgef"uhrt.
463 Hier sei angemerkt, dass die Simulation prinzipiell auch Diffusion von Kohlenstoff innerhalb kristalliner Volumina behandeln kann.
464 Die erste Idee war, dass Kohlenstoff in kristalline Gebiete diffundieren kann, die bereits einen gro"sen Anteil ihres Kohlenstoffs an einen amorphen Nachbarn abgegeben haben.
465 Da jedoch das Konzentrationsprofil durch Diffusionsprozesse nicht ver"andert wird \cite{goetz}, wurde die rein kristalline Diffusion in $z$-Richtung ausgeschlossen.
466 %Da weiterhin die Implantationsprofile von experimentellen Messungen und {\em TRIM}-Simulationen recht gut "ubereinstimmen, kann Diffusion in $z$-Richtung tats"achlich ausgeschlossen werden.
467 Eine Vorzugsrichtung der Diffusion ist unphysikalisch, weshalb die gesamte Diffusion innerhalb kristalliner Gebiete in den folgenden Simulationen ausgeschlossen wurde.
468 Als Relikt bleibt die Option die Diffusion auch vom Kristallinen ins Amorphe in $z$-Richtung auszuschalten.
469 Setzt sich die Diffusionsrate aus einem Beitrag $d_r^{x,y}$ f"ur Diffusion in der Ebene und einem Beitrag $d_r^z$ f"ur Diffusion in $z$-Richtung zusammen, so kann durch diese Option $d_r^z = 0$ gesetzt werden.
471 Die Sputterroutine wird nach der Dosis, die einem Abtrag von einer Ebene von Zellen ($3 \, nm$) entspricht, ausgef"uhrt und bewirkt, dass diese oberste Ebene entfernt wird.
472 Der Zusammenhang zwischen Sputterrate $S$ und Anzahl der Simulationsdurchl"aufe $n$ ist demnach wie folgt gegeben:
474 S = \frac{(3 \, nm)^3 XY }{n} \quad \textrm{.}
476 Nach $n$ Simulationsdurchl"aufen wird eine kohlenstofffreie, kristalline Ebene von unten her eingeschoben.
477 Der Inhalt der Ebene $i$ wird auf die Ebene $i-1$ (f"ur $i = Z, Z-1, \ldots, 2$) "uberschrieben.
478 Die Information der obersten Ebene $i=1$ geht dabei verloren.
479 Diese entspricht der abgetragenen Ebene.
480 Die Ebene $i=Z$ erh"alt kristallinen Status und die Kohlenstoffkonzentration Null.
482 Dies macht allerdings nur Sinn, wenn das Implantationsprofil und die nukleare Bremskraft f"ur die Ebenen tiefer $Z$ auf Null abgefallen sind, um kristalline, kohlenstofffreie Ebenen zu garantieren.
483 Daher wird das Sputtern nur in Simulationen "uber gro"se Tiefenbereiche ber"ucksichtigt.
485 Die Sputterrate kann durch {\em TRIM} beziehungsweise Messungen des Kohlenstoffprofils bestimmt werden.
486 Bei den gegebenen Bedingungen werden ungef"ahr $50 \, nm$ des Targets bei einer Dosis von $4,3 \times 10^{-17} cm^{-2}$ abgetragen \cite{basic_phys_proc}.
488 \section{Simulierte Tiefenbereiche}
489 \label{section:sim_tiefenbereich}
491 Wie bereits erw"ahnt wurden zwei verschiedene Versionen des Programms entwickelt. Sie simulieren zwei unterschiedlich gro"se Tiefenbereiche, welche im Folgenden Simulationsfenster genannt werden.
493 Da in erster Linie der Selbstorganisationsprozess der lamellaren Ausscheidungen an der vorderen Grenzfl"ache der amorphen $SiC_x$-Schicht simuliert werden soll, behandelt die erste Version den Tiefenbereich von der Oberfl"ache bis zum Beginn der durchgehend amorphen Schicht.
494 Dies entspricht einer Tiefe von ungef"ahr $300 \, nm$ und somit einer Anzahl von $Z=100$ W"urfeln in $z$-Richtung.
496 Wie in Abbildung \ref{img:bk_impl_p} gut zu erkennen ist, kann in diesem Tiefenbereich sowohl die Reichweitenverteilung, als auch die nukleare Bremskraft durch eine von der Tiefe linear abh"angige Funktion gen"ahert werden.
497 Daher ergeben sich "Anderungen zu den im vorigen Abschnitt erkl"arten Methoden zur Wahl des Volumens, in dem ein Sto"sprozess beziehungsweise eine Konzentrationserh"ohung stattfindet.
499 Die Zufallszahl $z$, die auf die Tiefenkoordinate $m$ abgebildet wird, muss der Verteilung $p(z)dz = (sz + s_0)dz$ gen"ugen.
500 Dabei beschreiben $s$ und $s_0$ die linear gen"aherte nukleare Bremskraft.
501 Die Transformation wird wie in Abschnitt \ref{subsubsection:lin_g_p} beschrieben durchgef"uhrt.
502 Dasselbe betrifft die Wahl der Tiefenkoordinate f"ur den Einbau des Kohlenstoffatoms.
503 Anstatt der Wahrscheinlichkeitsverteilung der nuklearen Bremskraft entsprechend, wird eine Verteilung entsprechend dem linear gen"aherten Implantationsprofil verwendet.
504 Au"serdem wird nicht nach jedem Durchlauf ein Ion im Simulationsbereich zur Ruhe kommen.
505 Da das Maximum der Reichweitenverteilung sehr viel tiefer liegt, werden die meisten Ionen au"serhalb des Simulationsfensters liegen bleiben.
506 Daher wird immer nur dann ein Ion eingebaut, wenn der im Simulationsbereich vorhandene Kohlenstoff $n_c$ kleiner als die Anzahl der Durchl"aufe $n$ multipliziert mit dem Verh"altnis der Fl"ache der Kohlenstoffverteilungskurve $c_C(z)$ bis $300 \, nm$ zur Fl"ache der gesamten Kohlenstoffverteilungskurve ist.
508 n_c < n \frac{\int_0^{300 nm} c_C(z) dz}{\int_0^{\infty} c_C(z) dz}
511 Da sowohl die Reichweitenverteilung, als auch die nukleare Bremskraft in Ebenen gr"osser $Z$ ungleich Null ist, kann Sputtern nicht beachtet werden.
512 Der Diffusionsprozess ist uneingeschr"ankt m"oglich.
513 In der ersten Version wurde der Einfluss der amorph/kristallinen Struktur direkter Nachbarn auf die Rekristallisation nach \eqref{eq:p_ac_genau} noch nicht beachtet.
514 Die Rekristallisationswahrscheinlichkeit ergibt sich hier aus \eqref{eq:p_ac_local}.
515 Die Rechenzeit einer Simulation mit $3 \times 10^7$ Durchl"aufen, einem $64 \times 64 \times 100$ gro"sem Target, einem Treffer pro Durchlauf und Diffusion alle $100$ Schritte, betr"agt auf einem $900 Mhz$ {\em Pentium 3} ungef"ahr $3$ Stunden.
517 In der zweiten Version wird die gesamte Implantationstiefe simuliert.
518 Das Simulationsfenster geht von $0-700 \, nm$.
519 Dies entspricht einer Anzahl $Z=233$ von W"urfeln in $z$-Richtung.
521 Die Tiefenkoordinaten f"ur den Sto"sprozess und die Kohlenstoffinkorporation werden, wie in Abschnitt \ref{subsection:a_r_step} beschrieben, nach der Verwerfungsmethode entsprechend dem nuklearen Bremskraftprofil und der Reichweitenverteilung gewonnen.
523 Da sowohl der nukleare Energieverlust als auch die Kohlenstoffkonzentration in Ebenen gr"osser $Z$ auf Null abgesunken ist, kann die Sputterroutine ausgef"uhrt werden.
524 Der Diffusionsprozess ist ebenfalls uneingeschr"ankt m"oglich.
525 Auf dem selben Rechner ben"otigt eine Simulation f"ur ein Target der oben genannten Ausdehnung, einer Anzahl von $100$ Treffern pro Ion und $160 \times 10^6$ Schritten mit Diffusion alle $10^6$ Schritte ungef"ahr $3$ Tage.
527 \section{Test der Zufallszahlen}
529 Die Simulation kann auf zwei verschiedene Arten die ben"otigten Zufallszahlen beziehen.
530 Die erste M"oglichkeit ist das Lesen der Zufallszahlen aus einer speziellen, vom Betriebssystem bereitgestellten Zeichendatei {\em /dev/urandom}.
531 Das Betriebssystem generiert aus dem Rauschen einiger Treiber, zum Beispiel den Treibern f"ur Tastatur, Maus und Festplatte einen sogenannten \dq Vorrat an Entropie\dq{}.
532 Eine Zufallszahl wird durch Anwendung des {\em SHA}-Algorithmus \cite{sha} (kurz f"ur {\bf S}ecure {\bf H}ash {\bf A}lgorithm) auf den Inhalt des Entropievorrates erzeugt.
533 Eine zweite M"oglichkeit ist die Verwendung des Zufallszahlengenerators der Standardbibliothek der Programmiersprache {\em C}.
534 Dieser generiert die Zufallszahlensequenz nach der im Abschnitt \ref{subsection:rand_gen} vorgestellten linearen Kongruenzmethode.
535 Das zuletzt genannte Verfahren ist damit unabh"angig vom Betriebssystem.
537 F"ur vern"unftige Ergebnisse muss die Qualit"at der Zufallszahlen gesichert sein.
538 Es gibt viele statistische Tests um eine Zahlenfolge auf ihre Verteilung beziehungsweise Zuf"alligkeit zu "uberpr"ufen.
539 Die am h"aufigsten verwendeten Testverfahren sind der $\chi^2$-Test und der Kolmogorov-Smirnov-Test \cite{knuth}.
541 Im Folgenden soll nur kontrolliert werden, dass f"ur gleichverteilte Zufallszahlen keine lokalen Anh"aufungen von Zahlen existieren.
542 Desweiteren werden die Methoden zur Erzeugung spezieller Wahrscheinlichkeitsverteilungen durch Vergleich der H"aufigkeit auftretender Zufallszahlen mit dem gew"unschten Verlauf "uberpr"uft.
544 Dazu werden f"ur die unterschiedlichen Verteilungen jeweils 10 Millionen Zufallszahlen zwischen $0$ und $232$ erzeugt und auf die n"achst kleinere ganze Zahl abgerundet.
545 Ein einfaches Scriptprogramm ({\em random\_parse.sh}, Anhang \ref{section:hilfsmittel}) z"ahlt die H"aufigkeit der einzelnen Zufallszahlen in der Zufallszahlensequenz.
547 \printimg{h}{width=13cm}{random.eps}{H"aufigkeit ganzzahliger Zufallszahlen unterschiedlicher Wahrscheinlichkeitsverteilungen. F"ur jede Verteilung wurden 10 Millionen Zufallszahlen ausgew"urfelt.}{img:random_distrib}
548 Abbildung \ref{img:random_distrib} zeigt die H"aufigkeit von Zufallszahlen zwischen $0$ und $232$, abgerundet auf die n"achst kleinere ganze Zahl, f"ur unterschiedliche Wahrscheinlichkeitsverteilungen.
549 Die blauen Punkte zeigen die Gleichverteilung nach \eqref{eq:gleichverteilte_r}.
550 Man erkennt keine lokalen Anh"aufungen.
551 Die roten Punkte zeigen die H"aufigkeit der Zufallszahlen bei Verwendung einer linear steigenden Wahrscheinlichkeitsverteilung wie in Abschnitt \ref{subsubsection:lin_g_p} beschrieben.
552 Dabei wurde $a=1$, $b=0$ und $Z=233$ gew"ahlt.
553 Wie erwartet zeigen die Punkte einen linearen Verlauf.
554 Die H"aufigkeiten, der mit der Verwerfungsmethode erzeugten Zufallszahlen entsprechend der nuklearen Bremskraft (gr"un) und dem Implantationsprofil (schwarz), stimmen sehr gut mit den Profilen in Abbildung \ref{img:bk_impl_p} "uberein.
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