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1 \chapter{Grundlagen}
2 \label{chapter:grundlagen}
3
4   \section{Monte-Carlo-Simulation}
5
6   Monte-Carlo-Simulationen sind Computer-Experimente zur Untersuchung interessierender Sachverhalte, die auf stochastischen Simulationsalgorithmen basieren.
7   Dabei werden vom Computer generierte Pseudozufallszahlen auf physikalische Gr"o"sen abgebildet.
8   Den Ausgangspunkt bilden dabei sogenannte Standard-Pseudozufallszahlen, die auf einem vorgegebenen Intervall gleichverteilt sind.
9   Hiervon ausgehend k"onnen beliebige Verteilungen durch Transformationen und Verwerfungsmethoden erzeugt werden.
10
11     \subsection{Erzeugung gleichverteilter Pseudozufallszahlen}
12
13     Die h"aufigste Methode zur Erzeugung von Zufallszahlen ist die lineare Kongruenzmethode, welche eine Sequenz von ganzen Zahlen $I_1, I_2, I_3, \ldots$ aus dem Intervall $I = [0,m-1]$ generiert.
14     Dabei gilt folgende Vorschrift:
15     \begin{equation} \label{eq:kon_m}
16     I_{j+1} = ( a I_{j} + c ) \, mod \, m
17     \end{equation}
18     \[ m: \textrm{Modulus, } a: \textrm{Multiplikator, } c: \textrm{Inkrement, } I_0: \textrm{Startwert} \]
19     Die Zufallszahlen k"onnen sich mit einer Periode, die offensichtlich nicht gr"o"ser als $m$ ist, wiederholen.
20     Die Qualit"at der Zufallszahlen h"angt dabei sehr stark von der Wahl der Konstanten $a, c, m$ und  $I_0$ ab.
21     Leider gibt es keine einfache mathematische Methode zur Ermittlung optimaler Konstanten.
22     Nach Park und Miller \cite{park_miller_zufall} erf"ullt man mit
23     \begin{equation} \label{eq:kon_v}
24     a = 7^5 = 16807, \quad m = 2^{31} - 1 = 2147483647, \quad c = 0
25     \end{equation}
26     einen minimalen Standard was die Qulit"at der Zufallszahlen angeht.
27     Diese Wahl der Konstanten wird in vielen Zufallsfunktionen der Standardbibliotheken verwendet.
28
29     \subsection{Transformation auf spezielle Zufallsverteilungen}
30
31     Die mit \eqref{eq:kon_m} und \eqref{eq:kon_v} erzeugten Pseudozufallszahlen $I_j$ sind gleichverteilt im Intervall $[0,m-1]$.
32     Durch Division der Zufallszahlen mit dem Modulus $m$ erh"alt man gleichverteilte Zufallszahlen $x_j$ im Intervall $[0,1[$, so dass die Wahrscheinlichkeit eine Zahl zwischen $x$ und $x + dx$ zu erhalten durch
33     \begin{equation}
34     p(x)dx = \left\{
35       \begin{array}{ll}
36       dx & 0 \leq x < 1 \\
37       0  & \textrm{sonst}
38       \end{array} \right.
39     \end{equation}
40     gegeben ist. Ausserdem ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung normiert.
41     \begin{equation}
42     \int_{- \infty}^{+ \infty}p(x)dx = \int_{0}^{1}p(x)dx = 1
43     \end{equation}
44     Diese dienen als Basis f"ur beliebige Verteilungen.
45     Einige in dieser Arbeit ben"otigte Transformationen sollen im Folgenden diskutiert werden.
46
47       \subsubsection{Zufallszahlen mit gleichverteilter Wahrscheinlichkeit}
48
49       Gleichverteilte Zufallszahlen $z_j$ in einem Intervall $[0,M[$ erh"alt man denkbar einfach durch skalieren der $x_j$ mit $M$.
50       \begin{equation}
51       z_j = M x_j = M \frac{I_j}{m}
52       \label{eq:gleichverteilte_r}
53       \end{equation}
54
55       \subsubsection{Zufallszahlen mit linear steigender Wahrscheinlichkeit}
56       \label{subsubsection:lin_g_p}
57
58       Zufallszahlen deren Wahrscheinlichkeit mit ihrem Wert im Intervall $[0,Z[$ linear ansteigen
59       \begin{equation}
60       p(z) = \left\{
61         \begin{array}{ll}
62         az + b & 0 \leq z < Z \\
63         0 & \textrm{sonst}
64         \end{array} \right.
65       \end{equation}
66       realisiert man durch folgende Transformation:
67       \begin{eqnarray}
68         p(z)dz & = & p(x)dx \nonumber \\
69         \frac{dx}{dz} & = & p(z) \nonumber \\
70         x & = & \int_{- \infty}^z p(z')dz' = \int_0^z (az' + b) dz' = \frac{1}{2} az^2 + bz \label{eq:trafo}
71       \end{eqnarray}
72       Durch Aufl"osen von \eqref{eq:trafo} nach $z$ und Ausschluss der negativen L"osung erh"alt man:
73       \begin{equation}
74       z = \frac{-b + \sqrt{b^2 + 2 a x}}{a} \quad \textrm{.}
75       \end{equation}
76       So erh"alt man Zufallszahlen $z_j$ im Intervall $[0,1[$ durch $x_j \in [0,b+\frac{a}{2}[$.
77       Sollen Zufallszahlen im Intervall $[0,Z[$ liegen, m"ussen sie durch
78       \begin{equation}
79       z_j = Z \frac{-b + \sqrt{b^2 + 2 a (b+\frac{a}{2}) \frac{I_j}{m}}}{a}
80       \end{equation}
81       berechnet werden.
82
83       \subsubsection{Verwerfungsmethode zur Erzeugung beliebiger Verteilungen}
84       \label{subsubsection:verwerf_meth}
85
86       Mit Hilfe der Verwerfungsmethode k"onnen Zufallszahlen mit beliebiger Wahrscheinlichkeitsverteilung $p(x)$ generiert werden.
87       Sie basiert auf einer einfachen geometrischen "Uberlegung (Abbildung \ref{img:rej_meth}).
88       Die Verteilung $p(x)$ sei im Intervall $[a,b]$ mit $p(x) \geq 0 \quad \forall x \in [a,b]$ gegeben.
89       Das Maximum von $p(x)$ sei $p_m$.
90       Die Erzeugung der Zufallszahlen funktioniert nun wie folgt:
91       \begin{enumerate}
92         \item Ausw"urfeln zweier gleichverteilter Zufallszahlen $x \in [a,b]$ und $y \in [0,p_m]$.
93         \item Ist $y \leq p(x)$, so ist $x$ die n"achste Zufallszahl, ansonsten zur"uck zu 1.
94       \end{enumerate}
95       \begin{figure}
96         \begin{center}
97         \includegraphics[width=10cm]{rej_meth.eps}
98         \caption{Beliebige Wahrscheinlichkeitsverteilung $p(x)$ im Intervall $[a,b]$ mit Maximum $p_m$}
99         \label{img:rej_meth}
100         \end{center}
101       \end{figure}
102       Diese Methode ist zwar sehr einfach, jedoch wird sie um so ineffizienter, je groesser die Fl"ache der Vergleichsfunktion (hier: $f(x) = p_m$) im Vergleich zu $p(x)$ zwischen $a$ und $b$ wird.
103       Deshalb macht es Sinn die Funktion $f(x)$ "ahnlich der Funktion $p(x)$ mit $f(x) \geq p(x); \, x \in [a,b]$ zu w"ahlen. 
104       Das unbestimmte Integral $F(x) = \int f(x) dx$ muss dabei bekannt und invertierbar sein.
105       Dann kann wie in \eqref{eq:trafo} die Transformation durchgef"uhrt werden.
106       Die Werte f"ur $x$ werden nun nach der Transformationsmethode im Intervall $[a,b]$ gew"ahlt, die Werte f"ur $y$ m"ussen gleichverteilt im Intervall $[0,f(x)]$ sein.
107
108   \section{Ion-Festk"orper Wechselwirkung}
109
110   Zur theoretischen Beschreibung der Ionenimplantation mu"s die Wechselwirkung der Ionen mit dem Target betrachtet werden.
111   Durch St"o"se mit den Kernen und Elektronen des Targets werden die Ionen im Festk"orper abgebremst, ein entsprechendes Implantationsprofil stellt sich ein.
112   Weitere Folgen sind die durch Bestrahlung im Kristallgitter entstehenden Sch"aden.
113   Im Folgenden wird darauf genauer eingegangen.
114
115     \subsection{Abbremsung von Ionen}
116
117     Die in den Festk"orper implantierten Ionen sto"sen mit den Atomkernen und Elektronen des Targets.
118     Dieser Streuprozess ist mit einem Energieverlust und einer Richtungs"anderung des Ions verbunden.
119     Das Ion f"uhrt weitere St"o"se aus bis dessen Energie zu klein f"ur weitere Sto"sprozesse ist.
120     Die Abbremsung der Ionen durch St"o"se mit den Atomkernen bezeichnet man als nukleare Bremskraft, die mit den Elektronen als elektronische Bremskraft.
121
122       \subsubsection{Bremsquerschnitt}
123
124       Um die Abbremsung der Ionen durch elektronische und nukleare Streuung zu beschreiben, definiert man den sogenannten Bremsquerschnitt.
125       \begin{equation}
126       S_{e,n} = - \frac{1}{N} \Big( \frac{\partial E}{\partial x} \Big)_{e,n}
127       \end{equation}
128       Dieser ist proportional zur Bremskraft $\frac{\partial E}{\partial x}$, welche angibt, wieviel Energie $E$ des Ions pro zur"uckgelegter Wegl"ange $x$ abgegeben wird.
129       $N$ ist die atomare Dichte des Festk"orpers.
130       Zerlegt man nun die Energieverlustrate in einen nuklearen und einen elektronischen Anteil so erh"alt man f"ur den Energieverlust pro Wegl"ange:
131       \begin{equation}
132       - \frac{\partial E}{\partial x} = N \Big( S_e(E) + S_n(E) \Big) \quad \textrm{.}
133       \end{equation}
134       Durch Kehrwertbildung und Integration "uber die Energie erh"alt man die mittlere Reichweite $R$ des Ions.
135       Sei dessen Anfangsenergie $E_0$, so gilt:
136       \begin{equation}
137       R = \frac{1}{N} \int_0^{E_0} \frac{d E}{S_e(E) + S_n(E)} \quad \textrm{.}
138       \label{eq:range}
139       \end{equation}
140       Um die Reichweite des Ions berechnen zu k"onnen, m"ussen noch der nukleare ($S_n$) und elektronische ($S_e$) Bremsquerschnitt bestimmt werden.
141
142       \subsubsection{Nukleare Bremskraft}
143
144       Zur Beschreibung der nuklearen Bremskraft muss der Energie"ubertrag zwischen einem bewegten und einem station"aren geladenen Teilchen betrachtet werden.
145       Dieser h"angt ab von Geschwindigkeit und Richtung des bewegten Teilchens, sowie von Masse und Ladung beider Teilchen und damit einem interatomaren Potential.
146       Die letztendlichen Geschwindigkeiten und Trajektoren k"onnen mit Hilfe der Energie- und Impulserhaltung f"ur einfache Potentiale analytisch gel"ost werden.
147       Es werden nur elastische St"o"se betrachtet, inelatische St"o"se mit den Atomkernen k"onnen vernachl"assigt werden.
148       Da die nukleare Bremskraft sehr wichtig f"ur die weitere Arbeit ist, wird auf ihre Herleitung etwas genauer eingegangen.
149
150       Zun"achst soll die klassische elastische Streuung zweier K"orper behandelt werden. 
151       Dabei ist das ruhende Teilchen der Atomkern, das einfallende Teilchen das implantierte Ion (Abbildung \ref{img:scatter_lc}).
152       Aus der Energieerhaltung folgt:
153       \begin{equation}
154       \frac{1}{2} M_1 v_0^2 = \frac{1}{2} M_1 v_1^2 + \frac{1}{2} M_2 v_2^2
155       \end{equation}
156       Dabei ist $v_0$ die anf"angliche Geschwindigkeit des Ions der Masse $M_1$, $v_1$ die Geschwindigkeit des Ions nach dem Sto"s und $v_2$ die Geschwindigkeit des gestossenen Atomkerns mit Masse $M_2$.
157       Aus der Impulserhaltung folgt,
158       \begin{eqnarray}
159       \textrm{Longitudinal: } & M_1 v_0 = M_1 v_1 cos(\theta) + M_2 v_2 cos(\phi) \\
160       \textrm{Lateral: } & 0 = M_1 v_1 sin(\theta) + M_2 v_2 sin(\phi)
161       \end{eqnarray}
162       wobei $\theta$ der Winkel der Ablenkung des Ions und $\phi$ der Winkel der Ablenkung des Atomkerns ist. 
163       \begin{figure}
164         \begin{center}
165         \includegraphics[width=10cm]{scatter_lc.eps}
166         \caption{Elastischer Sto"s zweier K"orper im Laborsystem}
167         \label{img:scatter_lc}
168         \end{center}
169       \end{figure}
170
171       Durch Transformation ins Schwerpunktsystem kann die Relativbewegung des Ions und des Atomkerns auf ein Einzelnes im Zentralfeld bewegtes Teilchen reduziert werden.
172       \begin{figure}
173         \begin{center}
174         \includegraphics[width=10cm]{scatter_cm2.eps}
175         \caption{Elastischer Sto"s zweier K"orper im Schwerpunktsystem}
176         \label{img:scatter_cm}
177         \end{center}
178       \end{figure}
179       Im Schwerpunktsystem gilt (Abbildung \ref{img:scatter_cm}):
180       \begin{equation}
181       \vec v_c = \frac{M_1}{M_1 + M_2} \vec v_0 \quad \textrm{,}
182       \label{eq:imp_cons_cm}
183       \end{equation}
184       wobei $\vec v_c$ die Schwerpunktgeschwindigkeit ist.
185       Mit der Definition der reduzierten Masse $M_c$
186       \begin{equation}
187       \frac{1}{M_c} = \frac{1}{M_1} + \frac{1}{M_2} \quad \textrm{,}
188       \end{equation}
189       also
190       \begin{equation}
191       M_c = \frac{M_1 M_2}{M_1 + M_2} \quad \textrm{,}
192       \label{eq:m_red}
193       \end{equation}
194       erh"alt man f"ur die Schwerpunktsbewegung aus \eqref{eq:imp_cons_cm} den Ausdruck
195       \begin{equation}
196       \vec v_c = \frac{M_c}{M_2} \vec v_0 \quad \textrm{.}
197       \label{eq:v_sp}
198       \end{equation}
199       Daraus l"asst sich ableiten, dass die Telchengeschwindigkeiten umgekehrt proportional zu ihren Massen sind.
200       \begin{equation}
201       \frac{v_0 - v_c}{v_c} = \frac{M_2}{M_1} \quad \textrm{.}
202       \label{eq:inv_prop}
203       \end{equation}
204
205       F"ur die Geschwindigkeiten des Ions und des Atomkerns im Schwerpunktsystem vor dem Sto"s gilt weiterhin:
206       \begin{eqnarray}
207       \vec v_{Ion} = & \vec v_0 - \vec v_c = \frac{M_2}{M_1 + M_2} \vec v_0 \quad \textrm{,} \\
208       \label{eq:v_ion_vor}
209       \vec v_{Atom} = & 0 - \vec v_c = - \frac{M_1}{M_1 + M_2} \vec v_0 \quad \textrm{.}
210       \label{eq:v_atom_vor}
211       \end{eqnarray}
212       womit der Gesamtimpuls $M_1 \vec v_{Ion} + M_2 \vec v_{Atom}$ verschwindet.
213       Die Impulse der Teilchen sind vor und nach dem Sto"s entgegengesetzt gleich gro"s.
214       Zusammen mit der Energieerhaltung folgt daraus, dass die Betr"age der Geschwindigkeiten durch den Sto"s nicht ver"andert werden.
215       Die kinetische Energie beider Teilchen bleibt im Schwerpunktsystem einzeln erhalten.
216
217       Abbildung \ref{img:angle_conv} zeigt die daraus abgeleitet Beziehung zwischen der Geschwindigkeit des Atoms nach dem Sto"s im Labor- und im Schwerpunktsystem.
218       Die Transformation ist durch
219       \begin{equation}
220       \vec v_2 = \vec v_{Atom} + \vec v_c
221       \end{equation}
222       gegeben.
223       Der Zusammenhang zwischen Ablenkwinkel im Labor- und Schwerpunktsystem sowie der Ausdruck f"ur $v_2$ sind leicht zu erkennen.
224       \begin{eqnarray}
225       \Phi = & 2 \phi \\
226       \label{eq:angle_conv}
227       v_2 = & 2 v_c cos(\phi)
228       \label{eq:v_2_abs}
229       \end{eqnarray}
230       \begin{figure}
231         \begin{center}
232         \includegraphics[width=10cm]{angle_conv.eps}
233         \caption{Zusammenhang der Geschwindigkeit des Targetatoms nach dem Sto"s im Schwerpunktsystem (blau) und im Laborsystem (rot)}
234         \label{img:angle_conv}
235         \end{center}
236       \end{figure}
237       F"ur die auf das Targetatom "ubertragene Energie gilt:
238       \begin{equation}
239       T = \frac{1}{2} M_2 v_2^2 \quad \textrm{.}
240       \end{equation}
241       Aus \eqref{eq:v_2_abs} und \eqref{eq:v_sp} erh"alt man:
242       \begin{equation}
243       T = \frac{1}{2} M_2 \Big( \frac{2 v_0 M_c cos(\phi)}{M_2} \Big)^2 = \frac{2}{M_2} \Big( v_0 M_c cos(\phi) \Big)^2 \quad \textrm{.}
244       \label{eq:delta_e}
245       \end{equation}
246       Die anf"angliche Energie des Systems $E$ ist festgelegt durch $E = \frac{1}{2} M_1 v_0^2$. 
247       Aus Abbildung \ref{img:scatter_cm} erkennt man, dass $\Phi = \pi - \Theta$ ist. Durch Einsetzen von \eqref{eq:m_red} f"ur die reduzierte Masse in \eqref{eq:delta_e} bekommt man folgenden Ausdruck f"ur den Energie"ubertrag:
248       \begin{equation}
249       T = \frac{2}{M_2} v_0^2 \frac{M_1^2 M_2^2}{(M_1 + M_2)^2} sin^2 \Big( \frac{\Theta}{2} \Big) = E \frac{4 M_1 M_2}{(M_1 + M_2)^2} sin^2 \Big( \frac{\Theta}{2} \Big) \quad \textrm{.}
250       \label{eq:final_delta_e}
251       \end{equation}
252       Die maximal "ubertragene Energie erh"alt man f"ur den zentralen Sto"s mit $\Theta = \pi$, also f"ur $\Phi = 2\phi = 0$:
253       \begin{equation}
254       T_{max} = E \frac{4 M_1 M_2}{(M_1 + M_2)^2} \quad \textrm{.}
255       \label{eq:delta_e_max}
256       \end{equation}
257      
258       Bis jetzt ist also der Energieverlust des Ions in einem elastischen Streuvorgang abh"angig vom Winkel bekannt.
259       Mit der Wahrscheinlichkeit f"ur den Streuvorgang zu jedem Winkel kann der durchschnittliche Energie"ubertrag, die Bremskraft,  berechnet werden.
260
261       Unter der Annahme, dass Kr"afte nur entlang der Verbindungslinie zwischen Ion und Targetatom wirken, kann das Zweik"orperproblem  auf die Wechselwirkung eines Teilchens mit der reduzierten Masse $M_c$ und der Geschwindigkeit $v_c$ in einem statischen Zentralfeld um den Ursprung des Schwerpunktsystems reduziert werden.
262       Die Bewegung im Zentralfeld kann mit Hilfe der Lagrange Gleichung gel"ost werden.
263       \begin{equation}
264       \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \stackrel{.}{q_i}} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0 \quad \textrm{mit} \quad L = \frac{M_c}{2}(\stackrel{.}{r^2} + r^2 \stackrel{.}{\Theta}) - V(r) \quad \textrm{.}
265       \end{equation}
266       Wegen $\frac{\partial L}{\partial \Theta} = 0$ ist $\Theta$ zyklisch. Daraus folgt die Drehimpulserhaltung.
267       \begin{equation}
268       \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \stackrel{.}{\Theta}} = \frac{d}{dt}(M_c r^2 \stackrel{.}{\Theta}) = 0 \quad \Rightarrow \quad l := M_c r^2 \stackrel{.}{\Theta} = const.
269       \label{eq:ang_mom_exp}
270       \end{equation}
271       F"ur den Drehimpuls (im Unendlichen) gilt:
272       \begin{equation}
273       l = M_c v_c p \quad \textrm{.}
274       \label{eq:ang_mom_val}
275       \end{equation}
276       L"ost man die Gleichung f"ur die Energie $E$ des Systems
277       \begin{equation}
278       E = \frac{M_c}{2} (\stackrel{.}{r^2} + r^2 \stackrel{.}{\Theta^2}) + V(r)
279       \end{equation}
280       nach $\stackrel{.}{r}$ auf,
281       \begin{equation}
282       \stackrel{.}{r} = \frac{dr}{dt} = \sqrt{ \frac{2}{M_c} (E - V(r)) - \frac{l^2}{M_c^2 r^2} }
283       \end{equation}
284       und diese Gleichung wiederrum nach $dt$,
285       \begin{equation}
286       dt = \frac{dr}{\sqrt{ \frac{2}{M_c} (E - V(r)) - \frac{l^2}{M_c^2 r^2} }}
287       \end{equation}
288       kann man aus \eqref{eq:ang_mom_exp} durch Integration vom Unendlichen bis zum minimalen Abstand des Teilchens $r_0$ vom Streuzentrum den Winkel $\Theta$ abh"angig vom Potential, dem Sto"sparameter und der Energie des Teilchens darstellen.
289       \begin{equation}
290       \frac{\Theta}{2} = \frac{l}{M_c r^2} \int_{r_0}^{\infty} \frac{dr}{\sqrt{ \frac{2}{M_c} (E - V(r)) - \frac{l^2}{M_c^2 r^2} }}
291       \end{equation}
292       Durch Einsetzen von \eqref{eq:ang_mom_val} und vereinfachen erh"alt man:
293       \begin{equation}
294       \Theta = 2 \int_{r_0}^{\infty} \frac{p dr}{\sqrt{1 - \frac{V(r)}{E} - \frac{p^2}{r^2}}} \quad \frac{1}{r^2} \quad \textrm{.}
295       \label{eq:theta_of_p}
296       \end{equation}
297       Mit Hilfe dieser Gleichung kann der Streuwinkel "uber die Schwerpunktsenergie $E$, dem Potential $V(r)$ und dem Stossparameter $p$ bestimmt werden.
298
299       Die Wahrscheinlichkeit f"ur die Streuung in Richtung $\Theta$ erh"alt man durch die "Uberlegung, wieviel Teilchen $dN$ eines homogenen Einheitsstrahls $n$ durch die Kreisringfl"ache $2 \pi p dp$ gehen und wegen Erhaltung der Teilchenzahl zwischen $\Theta$ und $\Theta + d \Theta$ gestreut werden.
300       \begin{eqnarray}
301       dN = & 2 \pi p dp \, n \\
302       d \sigma = & \frac{dN}{n} = 2 \pi p dp
303       \end{eqnarray}
304       Die Wahrscheinlichkeit $d \sigma$ bezeichnet man als differentiellen Wirkungsquerschnitt.
305       $\Theta$ ist eine Funtkion von $p$ \eqref{eq:theta_of_p}, die invertierbar ist.
306       Die Funktion $p(\Theta)$ wiederrum ist diffenenzierbar, so dass man zusammen mit der Raumwinkeldefinition $d \Omega = 2 \pi sin(\Theta) d \Theta$ folgenden Ausdruck f"ur den differentiellen Wirkungsquerschnitt erh"alt.
307       \begin{equation}
308       d \sigma (\Theta) = 2 \pi p \frac{dp}{d \Theta} d\Theta = \frac{p(\Theta)}{sin \Theta} | \frac{dp}{d \Theta} | d \Omega
309       \end{equation}
310
311       Der durschnittliche Energie"ubertrag kann nun durch Integration aller m"oglicher Energie"ubertr"age $T(\Theta)$ gewichtet mit der Wahrscheinlichkeit f"ur eine Streuung unter dem Winkel $\Theta$ berechnet werden.
312       \begin{equation}
313       S_n(E) = \int_0^{T_{max}} T d \sigma
314       \end{equation}
315
316       Nun muss noch ein geeignetes interatomares Potential $V(r)$ zur Beschreibung der Wechselwirkung der Ionen mit dem Festk"orper gefunden werden.
317       F"ur das interatomare Potential $V(r)$ wird oft ein abgeschirmtes Coulomb-Potential verwendet \cite{ziegler_biersack_littmark}.
318       \[
319       V(r) = \frac{Z_1 Z_2 e^2}{4 \pi \epsilon_0 r} \Phi(\frac{r}{a})
320       \]
321       Dabei ist $\Phi$ eine geeignete Abschirmfunktion und $a$ der sogenannte Abschirmparameter in der Gr"o"senordnung des Bohrradius.
322       Die Abschirmfunktion beachtet die Abschirumung des Coulombpotentials der Kerne des Ions und des Targetatoms durch die Elektronen.
323       Die besten "Ubereinstimmungen mit dem Experiment erh"alt man durch Verwendung des sogenannten \dq universal potential\dq{} \cite{ziegler_biersack_littmark}, dass von Ziegler et al. mit verbesserten Methoden, unter anderem dem Anfitten von Daten zahlreicher Ion-Target-Kombinationen an die Abschirmfunktion, eingef"uhrt wurde.
324       Diese ist in guter N"aherung f"ur alle Ion-Target-Kombinationen g"ultig.
325       Desweiteren schl"agt Biersack in \cite{ziegler_biersack_littmark} eine analytische N"aherungsformel zur einfachen Berechnung des Ablenkwinkels $\Theta$ aus dem Sto"sparameter $p$ vor.
326
327       \subsubsection{Elektronische Bremskraft}
328
329       Der elektronische Energieverlust der Ionen an den Elektronen des Targets kommt haupts"achlich durch inelastische Streuung zustande.
330       Dies f"uhrt zur Anregung beziehungsweise Ionisation des Targets.
331       Die elektronische Bremskraft ist abh"angig von der Energie der Ionen.
332       Verschiedene Theorien beschreiben die Abbremsung unterschiedlich schneller Ionen.
333       Da in dieser Arbeit nur niedrige Projektilenergien (kleiner $0,1 Mev/amu$) behandelt werden, sollen Theorien f"ur den Hochenergiebereich hier nicht diskutiert werden.
334       F"ur hohe, nicht-relativistische Energien m"usste die Bethe-Bloch-Gleichung \cite{bethe_bloch} zur Beschreibung des elektronischen Energieverlusts herangezogen werden.
335       Zus"atzliche relativistische Effekte f"uhren zu einem Anstieg der Bremskraft bei noch h"oheren Energien.
336
337       F"ur niedrige Teilchengeschwindigkeiten kann die elektronische Abbremsung mit Hilfe der LSS-Theorie \cite{lss} beschrieben werden.
338       Die Bremskraft ist proportional zur Geschwindigkeit, also proportional zur Wurzel aus der Energie des Ions.
339       \begin{equation}
340       S_e(E) = k_L \sqrt{E}
341       \label{eq:el_sp}
342       \end{equation}
343       Die Proportionalit"atskonstante $k_L$ ist ein geschwindigkeitsunabh"angiger Ausdruck und beachtet die Abh"angigkeit der Bremskraft von der Kernladungszahl des Ions und der Targetatome.
344       Schaleneffekte und damit verbundene Oszillationen in der Abh"angigkeit der Kernladungszahl k"onnen durch einen weiteren Faktor $k_F$, den LSS-Korrekturfaktor, der durch experimentelle Ergebnisse angepasst wurde, beachtet werden.
345       In \cite{ziegler_biersack_littmark} wird eine Theorie vorgestellt die auch die Oszillationen erkl"art.
346       Dabei werden alle Bremskr"afte auf experimentell genau bekannte Wasserstoff-Bremskr"afte fuer jedes Element zur"uckgef"uhrt.
347       Die Wasserstoff-Bremskr"afte werden mittels der Brandt-Kitagawa-Theorie f"ur schwere Ionen im gleichen Target skaliert.
348
349     \subsection{Implantationsprofil}
350
351     Mit den im letzten Abschnitt bestimmten Bremsquerschnitten $S_n$ und $S_e$ kann nun mittels \eqref{eq:range} die mittlere Reichweite $R$ der Ionen angegeben werden.
352     Diese ist allerdings ungleich der mittleren Tife, in der das Ion zur Ruhe kommt, da das implantierte Ion seine Richtung nach jedem Sto"s ver"andern wird.
353     Die so erhaltene projezierte Reichweite $R_p$ und deren Standardabweichung $\Delta R_p$ k"onnen durch L"osung von Integro-Differentialgleichungen \cite{lss_2} berechnet werden.
354
355     Weiterhin wird in \cite{lss_2} vorgeschlagen, das Konzentrationsprofil durch eine Gau"sverteilung anzun"ahern.
356     \begin{equation}
357     N(x) = \frac{D}{\sqrt{2 \pi \Delta R_p}} \exp \Big[ - \frac{(x - R_p)}{2 \Delta R_p^2}  \Big] \textrm{,} \qquad D: \textrm{ Dosis}
358     \end{equation}
359
360     \subsection{Die Monte-Carlo-Simulation {\em TRIM}}
361
362     Mit Hilfe der Monte-Carlo-Simulation {\em TRIM} \cite{ziegler_biersack_littmark,biersack_haggmark} (kurz f"ur {\bf TR}ansport of {\bf I}ons in {\bf M}atter) k"onnen die tiefenabh"angigen Bremskr"afte und die Reichweitenverteilung simuliert werden.
363     Da in dieser Arbeit von {\em TRIM} simulierte nukleare Bremskraftprofile, Reichweitenverteilungen und Informationen aus den protokollierten Kollisionen verwendet werden, soll hier grob auf den Ablauf des Programms eingegangen werden.
364
365     Das Programm folgt den Bahnen einer grossen Anzahl von Teilchen die in das Target implantiert werden.
366     Jedes Ion startet mit einer gegebenen Energie, Position und Richtung.
367     Die Teilchen vollziehen Richtungs"anderungen auf Grund von Kernst"o"sen mit den Atomen des Targets.
368     Zwischen zwei Kollisionen bewegt sich das Ion geradlinig innerhalb einer freien Wegl"ange.
369     Durch die nukleare und elektronische Bremskraft verliert das Teilchen Energie.
370     Die Verfolgung der Teilchenbahn terminiert wenn die Energie unter einen bestimmten Wert abgefallen oder das Teilchen das Taregt verlassen hat.
371     Das Target wird als amorph angenommen weshalb kristalline Richtungseigenschaften, wie zum Beispiel das sogenannte Channeling, ignoriert werden.
372     Der nukleare und elektronische Energieverlust werden unabh"angig voneinander behandelt.
373     Das Teilchen verliert einen diskreten Betrag der Energie durch Kernst"o"se und kontinuierlich auf Grund der elektronischen Bremskraft.
374    
375     Das einfallende Teilchen startet mit der Anfangsenergie $E = E_0$ an der Oberfl"ache des Targets.
376     Drei Zufallszahlen $R_1$, $R_2$ und $R_3$ werden auf die physikalischen Gr"o"sen freie Wegl"ange $l$, Sto"sparamter $p$ und den Azimutwinkel $\Phi$ abgebildet.
377
378     Der Azimutwinkel $\Phi$ ist statistisch isotrop verteilt.
379     \begin{equation}
380     \Phi = 2 \pi R_3
381     \end{equation}
382
383     EDIT: Wahl von Sto"sparameter $p$, Wahl von mittlerer freier Wegl"ange $l$.
384
385     Mit Hilfe der von Biersack entwickelten \dq magic formula \dq{} \cite{ziegler_biersack_littmark} kann aus dem Sto"ssparamter $p$ analytisch der Streuwinkel $\Theta$ errechnet werden.
386     Mit Hilfe des Ablenkwinkels wird dann durch \eqref{eq:final_delta_e} der Energie"ubertrag $\Delta E$ bestimmt.
387     Der elektronische Energieverlust ergibt sich aus dem Produkt der freien Wegl"ange $l$ mit dem Ausdruck f"ur die elektronische Bremskraft $S_e(E)$ aus \eqref{eq:el_sp} und der atomaren Dichte $N$.
388     Durch die freie Wegl"ange und den Ablenk- und Azimutwinkel ist der Ort des n"achsten Sto"sprozesses festgelegt.
389     Die Koordinaten und der Energie"ubertrag jedes Sto"ses werden protokolliert, womit die nukleare und elektronische Bremskraft bestimmt ist.
390     Die Koordinaten der Ionen die unter einen bestimmten Energiebetrag abgefallen sind merkt sich das Programm ebenfalls.
391
392     \subsection{Strahlensch"aden und Amorphisierung}
393
394     Durch die Bestrahlung des Targets werden Sch"aden im Kristallgitter hervorgerufen.
395     Dabei werden Targetatome durch St"o"se mit Ionen verlagert, oder durch St"o"se durch bereits angesto"sene Atome, sogenannten Recoils, wenn diese mindestens die Verlagerungsenergie $E_d$ besitzen.
396     Im letzten Fall spricht man auch von Verlagerungskaskaden.
397     So entstehen Leerstellen und Zwischengitteratome, sogenannte Frenkeldefekte, und komplexere Gitterdefekte, sogenannte Cluster.
398     Mit steigender Dosis beginnen gest"orte Gebiete zu "uberlappen was zu einer Ausbildung einer amorphen Schicht f"uhren kann.
399     Die Anzahl und Verteilung der Strahlensch"aden h"angt dabei von Temperatur, Energie und Masse der implantierten Ionen sowie der Masse der Targetatome ab.
400     Ein Ma"s f"ur die Konzentration der Strahlensch"adigung ist der Energieanteil, der in Form von Kernwechelswirkung an den Festk"orper abgegeben wurde \cite{brice1,brice2}.
401     Dieser ist prportional zu den erzeugten Leerstellen und komplexeren Defekten im Target \cite{stein_vook_borders}.
402
403     Die in einem prim"aren Sto"s verlagerten Atome, durch ein Ion der Energie $E$, kann nach Kinchin Pease \cite{kinchin_pease} zu
404     \begin{equation}
405     N_{p,d} = \frac{E}{E_d}
406     \end{equation}
407     abgesch"atzt werden.
408
409     Gleichzeitig heilen Defekte aus, indem verlagerte Gitteratome an ihren Gitterplatz zur"uckkehren.
410     Bei der thermischen Defektausheilung wird dies durch die thermisch erh"ohte Mobilit"at der Defekte erm"oglicht.
411     Andererseits kann der Ionenstrahl selbst zur Defektausheilung beitragen.
412     Dieser kann an amorph-kristallinen Grenzfl"achen Rekristallisation beg"unstigen oder auch zur Bildung von Kristallisationskeimen in amorphen Gebieten f"uhren.
413
414