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   1 \chapter{Grundlagen}
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   3   \section{Monte-Carlo-Simulation}
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   5   Monte-Carlo-Simulationen sind Computer-Experimente zur Untersuchung interessierender Sachverhalte, die auf stochastischen Simulationsalgorithemn basieren.
   6   Dabei werden vom Computer generierte Pseudozufallszahlen auf physikalische Gr"o"sen abgebildet.
   7   Den Ausgangspunkt bilden dabei sogenannte Standard-Pseudozufallszahlen, die auf einem vorgegebenen Intervall gleichverteilt sind.
   8   Hiervon ausgehend k"onnen beliebige Verteilungen durch Transformationen und Verwerfungsmethoden erzeugt werden.
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  10     \subsection{Erzeugung gleichverteilter Pseudozufallszahlen}
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  12     Die h"aufigste Methode zur Erzeugung von Zufallszahlen ist die lineare Kongruenzmethode, welche eine Sequenz von ganzen Zahlen $I_1, I_2, I_3,$ \ldots aus dem Intervall $I = [0,m-1]$ generiert.
  13     Dabei gilt folgende Vorschrift:
  14     \begin{equation} \label{eq:kon_m}
  15     I_{j+1} = ( a I_{j} + c ) \, mod \, m
  16     \end{equation}
  17     \[ m: \textrm{Modulus, } a: \textrm{Multiplikator, } c: \textrm{Inkrement, } I_0: \textrm{Startwert} \]
  18     Die Zufallszahlen k"onnen sich mit einer Periode, die offensichtlich nicht gr"o"ser als $m$ ist, wiederholen.
  19     Die Qualit"at der Zufallszahlen h"angt dabei sehr stark von der Wahl der Konstanten $a, c, m, I_0$ ab.
  20     Leider gibt es keine einfache mathematische Methode zur Ermittlung optimaler Konstanten.
  21     Nach Park und Miller \cite{park_miller_zufall} erf"ullt man mit
  22     \begin{equation} \label{eq:kon_v}
  23     a = 7^5 = 16807, \quad m = 2^{31} - 1 = 2147483647, \quad c = 0
  24     \end{equation}
  25     einen minimalen Standard was die Qulit"at der Zufallszahlen angeht.
  26     Diese Wahl der Konstanten wird in vielen Zufallsfunktionen der Standardbibliotheken verwendet.
  27
  28     \subsection{Transformation auf spezielle Zufallsverteilungen}
  29
  30     Die mit \eqref{eq:kon_m} und \eqref{eq:kon_v} erzeugten Pseudozufallszahlen $I_j$ sind gleichverteilt im Intervall $[0,m-1]$.
  31     Durch Division der Zufallszahlen mit dem Modulus $m$ erh"alt man gleichverteilte Zufallszahlen $x_j$ im Intervall $[0,1[$, so dass die Wahrscheinlichkeit eine Zahl zwischen $x$ und $x + dx$ zu erhalten durch
  32     \begin{equation}
  33     p(x)dx = \left\{
  34       \begin{array}{ll}
  35       dx & 0 \leq x < 1 \\
  36       0  & \textrm{sonst}
  37       \end{array} \right.
  38     \end{equation}
  39     gegeben ist. Ausserdem ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung normiert.
  40     \begin{equation}
  41     \int_{- \infty}^{+ \infty}p(x)dx = \int_{0}^{1}p(x)dx = 1
  42     \end{equation}
  43     Diese dienen als Basis f"ur beliebige Verteilungen.
  44     Einige in dieser Arbeit ben"otigte Transformationen sollen im Folgenden diskutiert werden.
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  46       \subsubsection{Zufallszahlen mit gleichverteilter Wahrscheinlichkeit}
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  48       Gleichverteilte Zufallszahlen $z_j$ in einem Intervall $[0,M[$ erh"alt man denkbar einfach durch skalieren der $x_j$ mit $M$.
  49       \begin{equation}
  50       z_j = M x_j = M \frac{I_j}{m}
  51       \end{equation}
  52
  53       \subsubsection{Zufallszahlen mit linear steigender Wahrscheinlichkeit}
  54
  55       Zufallszahlen deren Wahrscheinlichkeit mit ihrem Wert im Intervall $[0,Z[$ linear ansteigen
  56       \begin{equation}
  57       p(z) = \left\{
  58         \begin{array}{ll}
  59         az + b & 0 \leq z < Z \\
  60         0 & \textrm{sonst}
  61         \end{array} \right.
  62       \end{equation}
  63       realisiert man durch folgende Transformation:
  64       \begin{eqnarray}
  65         p(z)dz & = & p(x)dx \nonumber \\
  66         \frac{dx}{dz} & = & p(z) \nonumber \\
  67         x & = & \int_{- \infty}^z p(z')dz' = \int_0^z (az' + b) dz' = \frac{1}{2} az^2 + bz \label{eq:trafo}
  68       \end{eqnarray}
  69       Durch Aufl"osen von \eqref{eq:trafo} nach $z$ und Ausschluss der negativen L"osung erh"alt man:
  70       \begin{equation}
  71       z = \frac{-b + \sqrt{b^2 + 2 a x}}{a} \quad \textrm{.}
  72       \end{equation}
  73       So erh"alt man Zufallszahlen $z_j$ im Intervall $[0,1[$ durch $x_j \in [0,b+\frac{a}{2}[$.
  74       Sollen Zufallszahlen im Intervall $[0,Z[$ liegen, m"ussen sie durch
  75       \begin{equation}
  76       z_j = Z \frac{-b + \sqrt{b^2 + 2 a (b+\frac{a}{2}) \frac{I_j}{m}}}{a}
  77       \end{equation}
  78       berechnet werden.
  79
  80       \subsubsection{Verwerfungsmethode zur Erzeugung beliebiger Verteilungen}
  81
  82       Mit Hilfe der Verwerfungsmethode k"onnen Zufallszahlen mit beliebiger Wahrscheinlichkeitsverteilung $p(x)$ generiert werden.
  83       Sie basiert auf einer einfachen geometrischen "Uberlegung (Abbildung \ref{img:rej_meth}).
  84       Die Verteilung $p(x)$ sei im Intervall $[a,b]$ mit $p(x) \geq 0 \quad \forall x \in [a,b]$ gegeben.
  85       Das Maximum von $p(x)$ sei $p_m$.
  86       Die Erzeugung der Zufallszahlen funktioniert nun wie folgt:
  87       \begin{enumerate}
  88         \item Ausw"urfeln zweier gleichverteilter Zufallszahlen $x \in [a,b]$ und $y \in [0,p_m]$.
  89         \item Ist $y \leq p(x)$, so ist $x$ die n"achste Zufallszahl, ansonsten zur"uck zu 1.
  90       \end{enumerate}
  91       \begin{figure}
  92         \begin{center}
  93         \includegraphics[width=10cm]{rej_meth.eps}
  94         \caption{Beliebige Wahrscheinlichkeitsverteilung $p(x)$ im Intervall $[a,b]$ mit Maximum $p_m$}
  95         \label{img:rej_meth}
  96         \end{center}
  97       \end{figure}
  98       Diese Methode ist zwar sehr einfach, jedoch wird sie um so ineffizienter, je groesser die Fl"ache der Vergleichsfunktion (hier: $f(x) = p_m$) im Vergleich zu $p(x)$ zwischen $a$ und $b$ wird.
  99       Deshalb macht es Sinn die Funktion $f(x)$ "ahnlich der Funktion $p(x)$ mit $f(x) \geq p(x); \, x \in [a,b]$ zu w"ahlen.
 100       Das unbestimmte Integral $F(x) = \int f(x) dx$ muss dabei bekannt und invertierbar sein.
 101       Dann kann wie in \eqref{eq:trafo} die Transformation durchgef"uhrt werden.
 102       Die Werte f"ur $x$ werden nun nach der Transformationsmethode im Intervall $[a,b]$ gew"ahlt, die Werte f"ur $y$ m"ussen gleichverteilt im Intervall $[0,f(x)]$ sein.
 103
 104   \section{Ion-Festk"orper Wechselwirkung}
 105
 106   Zur theoretischen Beschreibung der Ionenimplantation mu"s die Wechselwirkung der Ionen mit dem Target betrachtet werden.
 107   Durch St"o"se mit den Kernen und Elektronen des Targets werden die Ionen im Festk"orper abgebremst, ein entsprechendes Implantationsprofil stellt sich ein.
 108   Weitere Folgen sind die durch Bestrahlung im Kristallgitter entstehenden Sch"aden.
 109   Im Folgenden wird darauf genauer eingegangen.
 110
 111     \subsection{Abbremsung von Ionen}
 112
 113     Die in den Festk"orper implantierten Ionen sto"sen mit den Atomkernen und Elektronen des Targets.
 114     Dieser Streuprozess ist mit einem Energieverlust und einer Richtungs"anderung des Ions verbunden.
 115     Das Ion f"uhrt weitere St"o"se aus bis dessen Energie zu klein f"ur weitere Sto"sprozesse ist.
 116     Die Abbremsung der Ionen durch St"o"se mit den Atomkernen bezeichnet man als nukleare Bremskraft, die mit den Elektronen als elektronische Bremskraft.
 117
 118       \subsubsection{Bremsquerschnitt}
 119
 120       Um die Abbremsung der Ionen durch elektronische und nukleare Streuung zu beschreiben, definiert man den sogenannten Bremsquerschnitt.
 121       \begin{equation}
 122       S_{e,n} = - \frac{1}{N} \Big( \frac{\partial E}{\partial x} \Big)_{e,n}
 123       \end{equation}
 124       Dieser ist proportional zur Bremskraft $\frac{\partial E}{\partial x}$, welche angibt, wieviel Energie $E$ des Ions pro zur"uckgelegter Wegl"ange $x$ abgegeben wird.
 125       $N$ ist die atomare Dichte des Festk"orpers.
 126       Zerlegt man nun die Energieverlustrate in einen nuklearen und einen elektronischen Anteil so erh"alt man f"ur den Energieverlust pro Wegl"ange:
 127       \begin{equation}
 128       - \frac{\partial E}{\partial x} = N \Big( S_e(E) + S_n(E) \Big) \quad \textrm{.}
 129       \end{equation}
 130       Durch Kehrwertbildung und Integration "uber die Energie erh"alt man die mittlere Reichweite $R$ des Ions.
 131       Sei dessen Anfangsenergie $E_0$, so gilt:
 132       \begin{equation}
 133       R = \frac{1}{N} \int_0^{E_0} \frac{d E}{S_e(E) + S_n(E)} \quad \textrm{.}
 134       \end{equation}
 135       Um die Reichweite des Ions berechnen zu k"onnen, m"ussen noch der nukleare ($S_n$) und elektronische ($S_e$) Bremsquerschnitt bestimmt werden.
 136
 137       \subsubsection{Nukleare Bremskraft}
 138
 139       Zur Beschreibung der nuklearen Bremskraft muss der Energie"ubertrag zwischen einem bewegten und einem station"aren geladenen Teilchen betrachtet werden.
 140       Dieser h"angt ab von Geschwindigkeit und Richtung des bewegten Teilchens, sowie von Masse und Ladung beider Teilchen und damit einem interatomaren Potential.
 141       Die letztendlichen Geschwindigkeiten und Trajektoren k"onnen mit Hilfe der Energie- und Impulserhaltung f"ur einfache Potentiale analytisch gel"ost werden.
 142       Es werden nur elastische St"o"se betrachtet, inelatische St"o"se mit den Atomkernen k"onnen vernachl"assigt werden.
 143       Da die nukleare Bremskraft sehr wichtig f"ur die weitere Arbeit ist, wird auf ihre Herleitung etwas genauer eingegangen.
 144
 145       Zun"achst soll die klassische elastische Streuung zweier K"orper behandelt werden.
 146       Dabei ist das ruhende Teilchen der Atomkern, das einfallende Teilchen das implantierte Ion (Abbildung \ref{img:scatter_lc}).
 147       Aus der Energieerhaltung folgt:
 148       \begin{equation}
 149       \frac{1}{2} M_1 v_0^2 = \frac{1}{2} M_1 v_1^2 + \frac{1}{2} M_2 v_2^2
 150       \end{equation}
 151       Dabei ist $v_0$ die anf"angliche Geschwindigkeit des Ions der Masse $M_1$, $v_1$ die Geschwindigkeit des Ions nach dem Sto"s und $v_2$ die Geschwindigkeit des gestossenen Atomkerns mit Masse $M_2$.
 152       Aus der Impulserhaltung folgt,
 153       \begin{eqnarray}
 154       \textrm{Longitudinal: } & M_1 v_0 = M_1 v_1 cos(\theta) + M_2 v_2 cos(\phi) \\
 155       \textrm{Lateral: } & 0 = M_1 v_1 sin(\theta) + M_2 v_2 sin(\phi)
 156       \end{eqnarray}
 157       wobei $\theta$ der Winkel der Ablenkung des Ions und $\phi$ der Winkel der Ablenkung des Atomkerns ist.
 158       \begin{figure}
 159         \begin{center}
 160         \includegraphics[width=10cm]{scatter_lc.eps}
 161         \caption{Elastischer Sto"s zweier K"orper im Laborsystem}
 162         \label{img:scatter_lc}
 163         \end{center}
 164       \end{figure}
 165
 166       Mit Hilfe der Transformation ins Schwerpunktsystem kann gezeigt werden, dass die Relativbewegung des Ions und des Atomkerns auf ein Einzelnes im Zentralfeld bewegtes Teilchen reduziert werden kann, wenn nur Kr"afte zwischen den beiden Teilchen wirken.
 167       \begin{figure}
 168         \begin{center}
 169         \includegraphics[width=10cm]{scatter_cm2.eps}
 170         \caption{Elastischer Sto"s zweier K"orper im Schwerpunktsystem}
 171         \label{img:scatter_cm}
 172         \end{center}
 173       \end{figure}
 174       Im Schwerpunktsystem gilt (Abbildung \ref{img:scatter_cm}):
 175       \begin{equation}
 176       M_1 v_0 = ( M_1 + M_2 ) v_c \quad \textrm{,}
 177       \label{eq:imp_cons_cm}
 178       \end{equation}
 179       wobei $v_c$ die Schwerpunktgeschwindigkeit ist, so dass der Gesamtimpuls des Systems Null ist.
 180       Mit der Definition der reduzierten Masse $M_c$
 181       \begin{equation}
 182       \frac{1}{M_c} = \frac{1}{M_1} + \frac{1}{M_2} \quad \textrm{,}
 183       \end{equation}
 184       also
 185       \begin{equation}
 186       M_c = \frac{M_1 M_2}{M_1 + M_2} \quad \textrm{,}
 187       \label{eq:m_red}
 188       \end{equation}
 189       erh"alt man f"ur die Schwerpunktsbewegung aus \eqref{eq:imp_cons_cm} den Ausdruck
 190       \begin{equation}
 191       v_c = \frac{v_0 M_c}{M_2} \quad \textrm{.}
 192       \label{eq:v_sp}
 193       \end{equation}
 194       Weiterhin erkennt man, dass die Teilchengeschwindigkeiten umgekehrt proportional zu ihren Massen und unabh"angig vom Streuwinkel sind:
 195       \begin{equation}
 196       \frac{v_0 - v_c}{v_c} = \frac{M_2}{M_1} \quad \textrm{.}
 197       \label{eq:inv_prop}
 198       \end{equation}
 199       Durch eine einfache geometrische "Uberlegung und der Bedingung, dass der Gesamtimpuls im Schwerpunktsystem Null ist, erh"alt man folgenden Zusammenhang der Ablenkwinkel des Targetatoms im Schwerpunkt- und Laborsystem (Abbildung \ref{img:angle_conv}):
 200       \begin{equation}
 201       \Phi = 2 \phi \quad \textrm{.}
 202       \label{eq:angle_conv}
 203       \end{equation}
 204       \begin{figure}
 205         \begin{center}
 206         \includegraphics[width=10cm]{angle_conv.eps}
 207         \caption{Zusammenhang der Ablenkwinkel des Targetatoms im Schwerpunktsystem (blau) und im Laborsystem (rot)}
 208         \label{img:angle_conv}
 209         \end{center}
 210       \end{figure}
 211       F"ur die auf das Targetatom "ubertragene Energie gilt:
 212       \begin{equation}
 213       T = \frac{1}{2} M_2 v_2^2 \quad \textrm{.}
 214       \end{equation}
 215       Mit $v_2 = 2 v_c cos(\phi)$ und \eqref{eq:v_sp} erh"alt man:
 216       \begin{equation}
 217       T = \frac{1}{2} M_2 \Big( \frac{2 v_0 M_c cos(\phi)}{M_2} \Big)^2 = \frac{2}{M_2} \Big( v_0 M_c cos(\phi) \Big)^2 \quad \textrm{.}
 218       \label{eq:delta_e}
 219       \end{equation}
 220       Die anf"angliche Energie des Systems $E$ ist festgelegt durch $E = \frac{1}{2} M_1 v_0^2$.
 221       Aus Abbildung \ref{img:scatter_cm} erkennt man, dass $\Phi = \pi - \Theta$ ist und mit \eqref{eq:angle_conv} und einsetzen von \eqref{eq:m_red} f"ur die reduzierte Masse in \eqref{eq:delta_e} bekommt man folgenden Ausdruck f"ur den Energie"ubertrag:
 222       \begin{equation}
 223       T = \frac{2}{M_2} v_0^2 \frac{M_1^2 M_2^2}{(M_1 + M_2)^2} sin^2 \Big( \frac{\Theta}{2} \Big) = E \frac{4 M_1 M_2}{(M_1 + M_2)^2} sin^2 \Big( \frac{\Theta}{2} \Big) \quad \textrm{.}
 224       \label{eq:final_delta_e}
 225       \end{equation}
 226       Die maximal "ubertragene Energie erh"alt man f"ur den zentralen Sto"s mit $\Theta = \pi$, also f"ur $\Phi = 2\phi = 0$:
 227       \begin{equation}
 228       T_{max} = E \frac{4 M_1 M_2}{(M_1 + M_2)^2} \quad \textrm{.}
 229       \label{eq:delta_e_max}
 230       \end{equation}
 231
 232       Bis jetzt ist also der Energieverlust des Ions in einem elastischen Streuvorgang abh"angig vom Winkel bekannt.
 233       Mit der Wahrscheinlichkeit f"ur den Streuvorgang zu jedem Winkel kann der durchschnittliche Energie"ubertrag berechnet werden.
 234       Mit der Annahme, dass Kr"afte zwischen den Teilchen nur entlang ihrer Verbindungsachse wirken und der Gesamtimpuls des Systems Null ist, verlaufen die zwei Teilchenbahnen symmetrisch zueinander. Daher reicht die Bestimmung einer einzelnen Teilchenbahn.
 235       Das Zweik"orperproblem kann so auf die Wechselwirkung eines Teilchens mit der reduzierten Masse $M_c$ und der Geschwindigkeit $v_c$ in einem statischen Zentralfeld um den Ursprung des Schwerpunktsystems reduziert werden.
 236       Die Bewegung im Zentralfeld kann mit Hilfe der Lagrange Gleichung gel"ost werden.
 237       \begin{equation}
 238       \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \stackrel{.}{q_i}} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0 \quad \textrm{mit} \quad L = \frac{M_c}{2}(\stackrel{.}{r^2} + r^2 \stackrel{.}{\Theta}) - V(r) \quad \textrm{.}
 239       \end{equation}
 240       Wegen $\frac{\partial L}{\partial \Theta} = 0$ ist $\Theta$ zyklisch. Daraus folgt die Drehimpulserhaltung
 241       \begin{equation}
 242       \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \stackrel{.}{\Theta}} = \frac{d}{dt}(M_c r^2 \stackrel{.}{\Theta}) = 0 \quad \Rightarrow \quad l := M_c r^2 \stackrel{.}{\Theta} = const.
 243       \label{eq:ang_mom_exp}
 244       \end{equation}
 245       F"ur den Drehimpuls (im Unendlichen) gilt:
 246       \begin{equation}
 247       l = M_c v_c p \quad \textrm{.}
 248       \label{eq:ang_mom_val}
 249       \end{equation}
 250       L"ost man die Gleichung f"ur die Energie $E$ des Systems
 251       \begin{equation}
 252       E = \frac{M_c}{2} (\stackrel{.}{r^2} + r^2 \stackrel{.}{\Theta^2}) + V(r)
 253       \end{equation}
 254       nach $\stackrel{.}{r}$ auf,
 255       \begin{equation}
 256       \stackrel{.}{r} = \frac{dr}{dt} = \sqrt{ \frac{2}{M_c} (E - V(r)) - \frac{l^2}{M_c^2 r^2} }
 257       \end{equation}
 258       und diese Gleichung wiederrum nach $dt$,
 259       \begin{equation}
 260       dt = \frac{dr}{\sqrt{ \frac{2}{M_c} (E - V(r)) - \frac{l^2}{M_c^2 r^2} }}
 261       \end{equation}
 262       kann man aus \eqref{eq:ang_mom_exp} durch Integration vom Unendlichen bis zum minimalen Abstand des Teilchens $r_0$ vom Streuzentrum den Winkel $\Theta$ abh"angig vom Potential, dem Sto"sparameter und der Energie des Teilchens darstellen.
 263       \begin{equation}
 264       \frac{\Theta}{2} = \frac{l}{M_c r^2} \int_{r_0}^{\infty} \frac{dr}{\sqrt{ \frac{2}{M_c} (E - V(r)) - \frac{l^2}{M_c^2 r^2} }}
 265       \end{equation}
 266       Durch Einsetzen von \eqref{eq:ang_mom_val} und vereinfachen erh"alt man:
 267       \begin{equation}
 268       \Theta = 2 \int_{r_0}^{\infty} \frac{p dr}{1 - \frac{V(r)}{E} - \frac{p^2}{r^2}} \quad \frac{1}{r^2} \quad \textrm{.}
 269       \label{eq:theta_of_p}
 270       \end{equation}
 271       Mit Hilfe dieser Gleichung kann der Streuwinkel "uber die Schwerpunktsenergie $E$, dem Potential $V(r)$ und dem Stossparameter $p$ bestimmt werden.
 272       Der durschnittliche Energie"ubertrag kann nun durch Einsetzen von \eqref{eq:theta_of_p} in \eqref{eq:final_delta_e} und Integration "uber alle $p$ bestimmt werden.
 273
 274       F"ur das interatomare Potential $V(r)$ wird oft ein abgeschirmtes Coulomb-Potential verwendet \cite{ziegler_biersack_littmark}.
 275       \[
 276       V(r) = \frac{Z_1 Z_2 e^2}{4 \pi \epsilon_0 r} \Phi(\frac{r}{a})
 277       \]
 278       Dabei ist $\Phi$ eine geeignete Abschirmfunktion und $a$ der sogenannte Abschirmparameter in der Gr"o"senordnung des Bohrradius.
 279      Die besten "Ubereinstimmungen mit dem Experiment erh"alt man durch Verwendung des sogenannten \dq universal potential\dq{} \cite{ziegler_biersack_littmark}, dass von Ziegler et al. mit verbessertebn Methoden, unter anderem dem Anfitten von Daten zahlreicher Ion-Target-Kombinationen an die Abschirmfunktion, eingef"uhrt wurde.
 280
 281       \subsubsection{Elektronische Bremskraft}
 282
 283       Der elektronische Energieverlust der Ionen an den Elektronen des Targets kommt haupts"achlich durch inelastische Streuung zustande.
 284       Dies f"uhrt zur Anregung beziehungsweise Ionisation des Targets.
 285
 286
 287     \subsection{Implantationsprofil}
 288
 289     \subsection{Die Monte-Carlo-Simulation {\em TRIM}}
 290
 291     \subsection{Strahlensch"aden und Amorphisierung}