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1 \chapter{Grundlagen}
2 \label{chapter:grundlagen}
3
4   \section{Monte-Carlo-Simulation}
5
6   Monte-Carlo-Simulationen sind numerische Computer-Experimente zur Untersuchung von interessierenden Sachverhalten.
7   Gegen"uber anderen Rechenmethoden basieren diese Computerexperiemnte auf stochastischen Modellen.
8   Die Zuf"allgkeit mikroskopischer Ereignisse spielt, wie im realen System des Experimentes, die wesentlich Rolle.
9   Der Rechner wird zum virtuellen Labor, in dem ein bestimmtest System untersucht wird.
10   Eine solche Computersimulation kann als numerisches Experiment betrachtet werden.
11   Makroskopische, observable Gr"ossen sind, wie im Experiment, von statistischen Fluktuationen beeinflusst.
12   Die Reproduzierbarkeit von Ergebnissen hat demnach statistischen Charakter.
13
14   Der Vorteil der Monte-Carlo-Methode ist die relativ einfache Erzielung von Ergebnissen f"ur Problemstellungen, die ohne N"aherungen analytisch nicht l"osbar oder sehr aufwendig sind.
15   Ein Beispiel hierf"ur ist das Ising Modell in drei Dimensionen, f"ur das bis jetzt keine analytische L"osung gefunden wurde.
16   Die Idee besteht darin, f"ur die Berechnung der Zustandssumme 
17   \begin{equation}
18   Z = \sum_{i=1}^N e^{\frac{-E_i}{k_B T}} = Tr(e^{-\beta H})
19   \end{equation}
20   nicht den gesamten Raum der Konfigurationen, sondern nur statistisch ausgew"ahlte Punkte zu ber"ucksichtigen.
21   Um die Genauigkeit der simulierten Eigenschaften des Systems in einer bestimmten Sollzeit zu verbessern, ist es n"otig die Zust"ande mit der Wahrscheinlichkeit entprechend ihres Beitrages zur Zustandssumme auszusuchen.
22   Dieser Ansatz wird als \dq importance sampling\dq{} bezeichnet.
23   F"ur das Ising Modell wird der Metropolis-Algorithmus verwendet, der die Dynamik des Systems in Form eines \dq update algorithm\dq{} f"ur die Mikrozust"ande vorschreibt.
24
25   Die Monte-Carlo-Simulation ben"otigt Zufallszahlen, welche auf physikalische Gr"o"sen abgebildet werden.
26   Erstaunlicherweise funktioniert diese Art der Simulation auch mit, vom Computer erzeugten, deterministischen Pseudozufallszahlen.
27   Den Ausgangspunkt bilden dabei sogenannte Standard-Pseudozufallszahlen, die auf einem vorgegebenen Intervall gleichverteilt sind.
28   Hiervon ausgehend k"onnen beliebige Verteilungen durch Transformationen und Verwerfungsmethoden erzeugt werden.
29
30     \subsection{Erzeugung gleichverteilter Pseudozufallszahlen}
31     \label{subsection:rand_gen}
32
33     Die h"aufigste Methode zur Erzeugung von Zufallszahlen ist die lineare Kongruenzmethode \cite{knuth,nr}, welche eine Sequenz von ganzen Zahlen $I_1, I_2, I_3, \ldots$ aus dem Intervall $I = [0,m-1]$ generiert.
34     Dabei gilt folgende Vorschrift:
35     \begin{equation} \label{eq:kon_m}
36     I_{j+1} = ( a I_{j} + c ) \, mod \, m
37     \end{equation}
38     \[ m: \textrm{Modulus, } a: \textrm{Multiplikator, } c: \textrm{Inkrement, } I_0: \textrm{Startwert} \]
39     Die Zufallszahlen k"onnen sich mit einer Periode, die offensichtlich nicht gr"o"ser als $m$ ist, wiederholen.
40     Die Qualit"at der Zufallszahlen h"angt dabei sehr stark von der Wahl der Konstanten $a, c, m$ und  $I_0$ ab.
41     Leider gibt es keine einfache mathematische Methode zur Ermittlung optimaler Konstanten.
42     Nach Park und Miller \cite{park_miller_zufall} erf"ullt man mit
43     \begin{equation} \label{eq:kon_v}
44     a = 7^5 = 16807, \quad m = 2^{31} - 1 = 2147483647, \quad c = 0
45     \end{equation}
46     einen minimalen Standard was die Qualit"at der Zufallszahlen angeht.
47     Diese Wahl der Konstanten wird in allen g"angigen Zufallszahlengeneratoren der Standardbibliotheken verwendet.
48
49     \subsection{Transformation auf spezielle Zufallsverteilungen}
50
51     Die mit \eqref{eq:kon_m} und \eqref{eq:kon_v} erzeugten Pseudozufallszahlen $I_j$ sind gleichverteilt im Intervall $[0,m-1]$.
52     Durch Division der Zufallszahlen mit dem Modulus $m$ erh"alt man gleichverteilte Zufallszahlen $x_j$ im Intervall $[0,1[$, so dass die Wahrscheinlichkeit eine Zahl zwischen $x$ und $x + dx$ zu erhalten durch
53     \begin{equation}
54     p(x)dx = \left\{
55       \begin{array}{ll}
56       dx & 0 \leq x < 1 \\
57       0  & \textrm{sonst}
58       \end{array} \right.
59     \end{equation}
60     gegeben ist. Au"serdem ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung normiert.
61     \begin{equation}
62     \int_{- \infty}^{+ \infty}p(x)dx = \int_{0}^{1}p(x)dx = 1
63     \end{equation}
64     Diese dienen als Basis f"ur beliebige Verteilungen.
65     Einige in dieser Arbeit ben"otigten Transformationen sollen im Folgenden diskutiert werden.
66
67       \subsubsection{Zufallszahlen mit gleichverteilter Wahrscheinlichkeit}
68
69       Gleichverteilte Zufallszahlen $z_j$ in einem Intervall $[0,M[$ erh"alt man denkbar einfach durch skalieren der $x_j$ mit $M$.
70       \begin{equation}
71       z_j = M x_j = M \frac{I_j}{m}
72       \label{eq:gleichverteilte_r}
73       \end{equation}
74
75       \subsubsection{Zufallszahlen mit linear steigender Wahrscheinlichkeit}
76       \label{subsubsection:lin_g_p}
77
78       Zufallszahlen deren Wahrscheinlichkeit mit ihrem Wert im Intervall $[0,Z[$ linear ansteigen
79       \begin{equation}
80       p(z) = \left\{
81         \begin{array}{ll}
82         az + b & 0 \leq z < Z \\
83         0 & \textrm{sonst}
84         \end{array} \right.
85       \end{equation}
86       realisiert man durch folgende Transformation:
87       \begin{eqnarray}
88         p(z)dz & = & p(x)dx \nonumber \\
89         \frac{dx}{dz} & = & p(z) \nonumber \\
90         x & = & \int_{- \infty}^z p(z')dz' = \int_0^z (az' + b) dz' = \frac{1}{2} az^2 + bz \label{eq:trafo}
91       \end{eqnarray}
92       Durch Aufl"osen von \eqref{eq:trafo} nach $z$ und Ausschluss der negativen L"osung erh"alt man:
93       \begin{equation}
94       z = \frac{-b + \sqrt{b^2 + 2 a x}}{a} \quad \textrm{.}
95       \end{equation}
96       So erh"alt man Zufallszahlen $z_j$ im Intervall $[0,1[$ durch $x_j \in [0,b+\frac{a}{2}[$.
97       Sollen Zufallszahlen im Intervall $[0,Z[$ liegen, m"ussen sie durch
98       \begin{equation}
99       z_j = Z \frac{-b + \sqrt{b^2 + 2 a (b+\frac{a}{2}) \frac{I_j}{m}}}{a}
100       \end{equation}
101       berechnet werden.
102
103       \subsubsection{Verwerfungsmethode zur Erzeugung beliebiger Verteilungen}
104       \label{subsubsection:verwerf_meth}
105
106       Mit Hilfe der Verwerfungsmethode k"onnen Zufallszahlen mit beliebiger Wahrscheinlichkeitsverteilung $p(x)$ generiert werden.
107       Sie basiert auf einer einfachen geometrischen "Uberlegung (Abbildung \ref{img:rej_meth}).
108       Die Verteilung $p(x)$ sei im Intervall $[a,b]$ mit $p(x) \geq 0 \quad \forall x \in [a,b]$ gegeben.
109       Das Maximum von $p(x)$ sei $p_m$.
110       Die Erzeugung der Zufallszahlen funktioniert nun wie folgt:
111       \begin{enumerate}
112         \item Ausw"urfeln zweier gleichverteilter Zufallszahlen $x \in [a,b]$ und $y \in [0,p_m]$.
113         \item Ist $y \leq p(x)$, so ist $x$ die n"achste Zufallszahl, ansonsten zur"uck zu 1.
114       \end{enumerate}
115       \begin{figure}
116         \begin{center}
117         \includegraphics[width=10cm]{rej_meth.eps}
118         \caption{Beliebige Wahrscheinlichkeitsverteilung $p(x)$ im Intervall $[a,b]$ mit Maximum $p_m$.}
119         \label{img:rej_meth}
120         \end{center}
121       \end{figure}
122       Diese Methode ist zwar sehr einfach, jedoch wird sie um so ineffizienter, je groesser die Fl"ache der Vergleichsfunktion (hier: $f(x) = p_m$) im Vergleich zu $p(x)$ zwischen $a$ und $b$ wird.
123       Deshalb macht es Sinn die Funktion $f(x)$ "ahnlich der Funktion $p(x)$ mit $f(x) \geq p(x); \, x \in [a,b]$ zu w"ahlen. 
124       Das unbestimmte Integral $F(x) = \int f(x) dx$ muss dabei bekannt und invertierbar sein.
125       Dann kann wie in \eqref{eq:trafo} die Transformation durchgef"uhrt werden.
126       Die Werte f"ur $x$ werden nun nach der Transformationsmethode im Intervall $[a,b]$ gew"ahlt, die Werte f"ur $y$ m"ussen gleichverteilt im Intervall $[0,f(x)]$ sein.
127
128   \section{Ion-Festk"orper Wechselwirkung}
129
130   Zur theoretischen Beschreibung der Ionenimplantation muss die Wechselwirkung der Ionen mit dem Target betrachtet werden.
131   Durch St"o"se mit den Kernen und Elektronen des Targets werden die Ionen im Festk"orper abgelenkt und abgebremst.
132   Es stellt sich ein entsprechendes Implantationsprofil ein.
133   Weitere Folgen sind die durch Bestrahlung im Kristallgitter entstehenden Sch"aden.
134   Im Folgenden wird darauf genauer eingegangen.
135
136     \subsection{Abbremsung von Ionen}
137
138     Die in den Festk"orper implantierten Ionen sto"sen mit den Atomkernen und Elektronen des Targets.
139     Dieser Streuprozess ist mit einem Energieverlust und einer Richtungs"anderung des Ions verbunden.
140     Das Ion f"uhrt weitere St"o"se aus bis dessen Energie zu klein f"ur weitere Sto"sprozesse ist.
141
142       \subsubsection{Bremsquerschnitt}
143
144       Um die Abbremsung der Ionen durch elektronische und nukleare Streuung zu beschreiben, definiert man den sogenannten Bremsquerschnitt:
145       \begin{equation}
146       S_{e,n} = - \frac{1}{N} \Big( \frac{\partial E}{\partial x} \Big)_{e,n} \quad \textrm{.}
147       \end{equation}
148       Dieser ist proportional zur Bremskraft $\frac{\partial E}{\partial x}$, welche angibt wieviel Energie $E$ des Ions pro zur"uckgelegter Wegl"ange $x$ abgegeben wird.
149       $N$ ist die atomare Dichte des Festk"orpers.
150       Zerlegt man nun die Energieverlustrate in einen nuklearen und einen elektronischen Anteil so erh"alt man f"ur den Energieverlust pro Wegl"ange:
151       \begin{equation}
152       - \frac{\partial E}{\partial x} = N \Big( S_e(E) + S_n(E) \Big) \quad \textrm{.}
153       \end{equation}
154       Durch Kehrwertbildung und Integration "uber die Energie erh"alt man die mittlere Reichweite $R$ des Ions.
155       Ist dessen Anfangsenergie $E_0$, so gilt:
156       \begin{equation}
157       R = \frac{1}{N} \int_0^{E_0} \frac{d E}{S_e(E) + S_n(E)} \quad \textrm{.}
158       \label{eq:range}
159       \end{equation}
160       Um die Reichweite des Ions berechnen zu k"onnen, m"ussen noch der nukleare ($S_n$) und elektronische ($S_e$) Bremsquerschnitt bestimmt werden.
161
162       \subsubsection{Nukleare Bremskraft}
163
164       Zur Beschreibung der nuklearen Bremskraft muss der Energie"ubertrag zwischen einem bewegten und einem station"aren geladenen Teilchen betrachtet werden.
165       Dieser h"angt ab von Geschwindigkeit und Richtung des bewegten Teilchens, sowie von Masse und Ladung beider Teilchen und damit einem interatomaren Potential.
166       Die letztendlichen Geschwindigkeiten und Trajektoren k"onnen mit Hilfe der Energie- und Impulserhaltung f"ur einfache Potentiale analytisch gel"ost werden.
167       Es werden nur elastische St"o"se betrachtet, inelastische St"o"se mit den Atomkernen k"onnen vernachl"assigt werden.
168       Da die nukleare Bremskraft sehr wichtig f"ur die weitere Arbeit ist, wird auf ihre Herleitung etwas genauer eingegangen.
169
170       Zun"achst soll die klassische elastische Streuung zweier K"orper behandelt werden. 
171       Dabei ist das ruhende Teilchen der Atomkern, das einfallende Teilchen das implantierte Ion (Abbildung \ref{img:scatter_lc}).
172       Aus der Energieerhaltung folgt:
173       \begin{equation}
174       \frac{1}{2} M_1 v_0^2 = \frac{1}{2} M_1 v_1^2 + \frac{1}{2} M_2 v_2^2
175       \end{equation}
176       Dabei ist $v_0$ die anf"angliche Geschwindigkeit des Ions der Masse $M_1$, $v_1$ die Geschwindigkeit des Ions nach dem Sto"s und $v_2$ die Geschwindigkeit des gestossenen Atomkerns mit Masse $M_2$.
177       Aus der Impulserhaltung folgt,
178       \begin{eqnarray}
179       \textrm{Longitudinal: } & M_1 v_0 = M_1 v_1 cos(\theta) + M_2 v_2 cos(\phi) \\
180       \textrm{Lateral: } & 0 = M_1 v_1 sin(\theta) + M_2 v_2 sin(\phi)
181       \end{eqnarray}
182       wobei $\theta$ der Winkel der Ablenkung des Ions und $\phi$ der Winkel der Ablenkung des Atomkerns ist. 
183       \begin{figure}
184         \begin{center}
185         \includegraphics[width=10cm]{scatter_lc.eps}
186         \caption{Elastischer Sto"s zweier K"orper im Laborsystem.}
187         \label{img:scatter_lc}
188         \end{center}
189       \end{figure}
190
191       Durch Transformation ins Schwerpunktsystem kann die Relativbewegung des Ions und des Atomkerns auf ein Einzelnes im Zentralfeld bewegtes Teilchen reduziert werden.
192       \begin{figure}
193         \begin{center}
194         \includegraphics[width=10cm]{scatter_cm2.eps}
195         \caption{Elastischer Sto"s zweier K"orper im Schwerpunktsystem.}
196         \label{img:scatter_cm}
197         \end{center}
198       \end{figure}
199       Im Schwerpunktsystem gilt (Abbildung \ref{img:scatter_cm}):
200       \begin{equation}
201       \vec v_c = \frac{M_1}{M_1 + M_2} \vec v_0 \quad \textrm{,}
202       \label{eq:imp_cons_cm}
203       \end{equation}
204       wobei $\vec v_c$ die Schwerpunktgeschwindigkeit ist.
205       Mit der Definition der reduzierten Masse $M_c$
206       \begin{equation}
207       \frac{1}{M_c} = \frac{1}{M_1} + \frac{1}{M_2} \quad \textrm{,}
208       \end{equation}
209       also
210       \begin{equation}
211       M_c = \frac{M_1 M_2}{M_1 + M_2} \quad \textrm{,}
212       \label{eq:m_red}
213       \end{equation}
214       erh"alt man f"ur die Schwerpunktbewegung aus \eqref{eq:imp_cons_cm} den Ausdruck
215       \begin{equation}
216       \vec v_c = \frac{M_c}{M_2} \vec v_0 \quad \textrm{.}
217       \label{eq:v_sp}
218       \end{equation}
219       Daraus l"asst sich ableiten, dass die Teilchengeschwindigkeiten umgekehrt proportional zu ihren Massen sind.
220       \begin{equation}
221       \frac{v_0 - v_c}{v_c} = \frac{M_2}{M_1} \quad \textrm{.}
222       \label{eq:inv_prop}
223       \end{equation}
224
225       F"ur die Geschwindigkeiten des Ions und des Atomkerns im Schwerpunktsystem vor dem Sto"s gilt weiterhin:
226       \begin{eqnarray}
227       \vec v_{Ion} = & \vec v_0 - \vec v_c = \frac{M_2}{M_1 + M_2} \vec v_0 \quad \textrm{,} \\
228       \label{eq:v_ion_vor}
229       \vec v_{Atom} = & 0 - \vec v_c = - \frac{M_1}{M_1 + M_2} \vec v_0 \quad \textrm{.}
230       \label{eq:v_atom_vor}
231       \end{eqnarray}
232       Der Gesamtimpuls $M_1 \vec v_{Ion} + M_2 \vec v_{Atom}$ verschwindet.
233       Die Impulse der Teilchen sind vor und nach dem Sto"s entgegengesetzt gleich gro"s.
234       Zusammen mit der Energieerhaltung folgt daraus, dass die Betr"age der Geschwindigkeiten durch den Sto"s nicht ver"andert werden.
235       Die kinetische Energie beider Teilchen bleibt im Schwerpunktsystem einzeln erhalten.
236
237       Abbildung \ref{img:angle_conv} zeigt die daraus abgeleitet Beziehung zwischen der Geschwindigkeit des Atoms nach dem Sto"s im Labor- und im Schwerpunktsystem.
238       Die Transformation ist durch
239       \begin{equation}
240       \vec v_2 = \vec v_{Atom} + \vec v_c
241       \end{equation}
242       gegeben.
243       Der Zusammenhang zwischen Ablenkwinkel im Labor- und Schwerpunktsystem, sowie der Ausdruck f"ur $v_2$, sind leicht zu erkennen.
244       \begin{eqnarray}
245       \Phi = & 2 \phi \\
246       \label{eq:angle_conv}
247       v_2 = & 2 v_c cos(\phi)
248       \label{eq:v_2_abs}
249       \end{eqnarray}
250       \begin{figure}
251         \begin{center}
252         \includegraphics[width=10cm]{angle_conv.eps}
253         \caption{Zusammenhang der Geschwindigkeit des Targetatoms nach dem Sto"s im Schwerpunktsystem und im Laborsystem.}
254         \label{img:angle_conv}
255         \end{center}
256       \end{figure}
257       F"ur die auf das Targetatom "ubertragene Energie gilt:
258       \begin{equation}
259       T = \frac{1}{2} M_2 v_2^2 \quad \textrm{.}
260       \end{equation}
261       Aus \eqref{eq:v_2_abs} und \eqref{eq:v_sp} erh"alt man:
262       \begin{equation}
263       T = \frac{1}{2} M_2 \Big( \frac{2 v_0 M_c cos(\phi)}{M_2} \Big)^2 = \frac{2}{M_2} \Big( v_0 M_c cos(\phi) \Big)^2 \quad \textrm{.}
264       \label{eq:delta_e}
265       \end{equation}
266       Die anf"angliche Energie des Systems $E$ ist festgelegt durch $E = \frac{1}{2} M_1 v_0^2$. 
267       Aus Abbildung \ref{img:scatter_cm} erkennt man, dass $\Phi = \pi - \Theta$ ist. Durch Einsetzen von \eqref{eq:m_red} f"ur die reduzierte Masse in \eqref{eq:delta_e} bekommt man folgenden Ausdruck f"ur den Energie"ubertrag:
268       \begin{equation}
269       T = \frac{2}{M_2} v_0^2 \frac{M_1^2 M_2^2}{(M_1 + M_2)^2} sin^2 \Big( \frac{\Theta}{2} \Big) = E \frac{4 M_1 M_2}{(M_1 + M_2)^2} sin^2 \Big( \frac{\Theta}{2} \Big) \quad \textrm{.}
270       \label{eq:final_delta_e}
271       \end{equation}
272       Die maximal "ubertragene Energie erh"alt man f"ur den zentralen Sto"s mit $\Theta = \pi$, also f"ur $\Phi = 2\phi = 0$:
273       \begin{equation}
274       T_{max} = E \frac{4 M_1 M_2}{(M_1 + M_2)^2} \quad \textrm{.}
275       \label{eq:delta_e_max}
276       \end{equation}
277      
278       Bis jetzt ist der Energieverlust des Ions in einem elastischen Streuvorgang abh"angig vom Winkel bekannt.
279       Mit der Wahrscheinlichkeit f"ur den Streuvorgang zu jedem Winkel kann der durchschnittliche Energie"ubertrag, die Bremskraft,  berechnet werden.
280
281       Unter der Annahme, dass Kr"afte nur entlang der Verbindungslinie zwischen Ion und Targetatom wirken, kann das Zweik"orperproblem  auf die Wechselwirkung eines Teilchens mit der reduzierten Masse $M_c$ und der Geschwindigkeit $v_c$ in einem statischen Zentralfeld um den Ursprung des Schwerpunktsystems reduziert werden.
282       Die Bewegung im Zentralfeld kann mit Hilfe der Lagrange-Gleichung gel"ost werden.
283       \begin{equation}
284       \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \stackrel{.}{q_i}} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0 \quad \textrm{mit} \quad L = \frac{M_c}{2}(\stackrel{.}{r^2} + r^2 \stackrel{.}{\Theta}) - V(r) \quad \textrm{.}
285       \end{equation}
286       Wegen $\frac{\partial L}{\partial \Theta} = 0$ ist $\Theta$ zyklisch. Daraus folgt die Drehimpulserhaltung.
287       \begin{equation}
288       \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \stackrel{.}{\Theta}} = \frac{d}{dt}(M_c r^2 \stackrel{.}{\Theta}) = 0 \quad \Rightarrow \quad l := M_c r^2 \stackrel{.}{\Theta} = const.
289       \label{eq:ang_mom_exp}
290       \end{equation}
291       F"ur den Drehimpuls (im Unendlichen) gilt:
292       \begin{equation}
293       l = M_c v_c p \quad \textrm{.}
294       \label{eq:ang_mom_val}
295       \end{equation}
296       L"ost man die Gleichung f"ur die Energie $E$ des Systems
297       \begin{equation}
298       E = \frac{M_c}{2} (\stackrel{.}{r^2} + r^2 \stackrel{.}{\Theta^2}) + V(r)
299       \end{equation}
300       nach $\stackrel{.}{r}$ auf,
301       \begin{equation}
302       \stackrel{.}{r} = \frac{dr}{dt} = \sqrt{ \frac{2}{M_c} (E - V(r)) - \frac{l^2}{M_c^2 r^2} }
303       \end{equation}
304       und diese Gleichung wiederrum nach $dt$,
305       \begin{equation}
306       dt = \frac{dr}{\sqrt{ \frac{2}{M_c} (E - V(r)) - \frac{l^2}{M_c^2 r^2} }}
307       \end{equation}
308       kann man aus \eqref{eq:ang_mom_exp} durch Integration vom Unendlichen bis zum minimalen Abstand des Teilchens $r_0$ vom Streuzentrum den Winkel $\Theta$ darstellen, abh"angig vom Potential, dem Sto"sparameter und der Energie des Teilchens.
309       \begin{equation}
310       \frac{\Theta}{2} = \frac{l}{M_c r^2} \int_{r_0}^{\infty} \frac{dr}{\sqrt{ \frac{2}{M_c} (E - V(r)) - \frac{l^2}{M_c^2 r^2} }}
311       \end{equation}
312       Durch Einsetzen von \eqref{eq:ang_mom_val} und vereinfachen erh"alt man:
313       \begin{equation}
314       \Theta = 2 \int_{r_0}^{\infty} \frac{p dr}{\sqrt{1 - \frac{V(r)}{E} - \frac{p^2}{r^2}}} \quad \frac{1}{r^2} \quad \textrm{.}
315       \label{eq:theta_of_p}
316       \end{equation}
317       Mit Hilfe dieser Gleichung kann der Streuwinkel "uber die Schwerpunktenergie $E$, dem Potential $V(r)$ und dem Sto"sparameter $p$ bestimmt werden.
318
319       Die Wahrscheinlichkeit f"ur die Streuung in Richtung $\Theta$ erh"alt man durch die "Uberlegung, wieviel Teilchen $dN$ eines homogenen Einheitsstrahls $n$ durch die Kreisringfl"ache $2 \pi p dp$ gehen und wegen Erhaltung der Teilchenzahl zwischen $\Theta$ und $\Theta + d \Theta$ gestreut werden.
320       \begin{eqnarray}
321       dN = & 2 \pi p dp \, n \\
322       d \sigma = & \frac{dN}{n} = 2 \pi p dp
323       \end{eqnarray}
324       Die Wahrscheinlichkeit $d \sigma$ bezeichnet man als differentiellen Wirkungsquerschnitt.
325       $\Theta$ ist eine Funktion von $p$ \eqref{eq:theta_of_p}, die invertierbar ist.
326       Die Funktion $p(\Theta)$ wiederrum ist differenzierbar, so dass man zusammen mit der Raumwinkeldefinition $d \Omega = 2 \pi sin(\Theta) d \Theta$ folgenden Ausdruck f"ur den differentiellen Wirkungsquerschnitt erh"alt.
327       \begin{equation}
328       d \sigma (\Theta) = 2 \pi p \frac{dp}{d \Theta} d\Theta = \frac{p(\Theta)}{sin \Theta} \left| \frac{dp}{d \Theta} \right| d \Omega
329       \end{equation}
330
331       Der durschnittliche Energie"ubertrag kann nun durch Integration aller m"oglicher Energie"ubertr"age $T(\Theta)$, gewichtet mit der Wahrscheinlichkeit f"ur eine Streuung unter dem Winkel $\Theta$, berechnet werden.
332       \begin{equation}
333       S_n(E) = \int_0^{T_{max}} T d \sigma
334       \end{equation}
335
336       Zuletzt muss noch ein geeignetes interatomares Potential $V(r)$ zur Beschreibung der Wechselwirkung der Ionen mit dem Festk"orper gefunden werden.
337       F"ur das interatomare Potential $V(r)$ wird oft ein abgeschirmtes Coulomb-Potential verwendet \cite{ziegler_biersack_littmark}.
338       \[
339       V(r) = \frac{Z_1 Z_2 e^2}{4 \pi \epsilon_0 r} \Phi(\frac{r}{a})
340       \]
341       Dabei ist $\Phi$ eine geeignete Abschirmfunktion und $a$ der sogenannte Abschirmparameter in der Gr"o"senordnung des Bohrradius.
342       Die Abschirmfunktion beachtet die Abschirmung des Coulombpotentials der Kerne des Ions und des Targetatoms durch die Elektronen.
343       Die besten "Ubereinstimmungen mit dem Experiment erh"alt man durch Verwendung des sogenannten \dq universal potential\dq{} \cite{ziegler_biersack_littmark}, dass von Ziegler et al. mit verbesserten Methoden, unter anderem dem Anpassen von Daten zahlreicher Ion-Target-Kombinationen an die Abschirmfunktion, eingef"uhrt wurde.
344       Diese ist in guter N"aherung f"ur alle Ion-Target-Kombinationen g"ultig.
345       Desweiteren schl"agt Biersack in \cite{ziegler_biersack_littmark} eine analytische N"aherungsformel zur einfachen Berechnung des Ablenkwinkels $\Theta$ aus dem Sto"sparameter $p$ vor.
346
347       \subsubsection{Elektronische Bremskraft}
348
349       Der elektronische Energieverlust der Ionen an den Elektronen des Targets kommt haupts"achlich durch inelastische Streuung zustande.
350       Dies f"uhrt zur Anregung beziehungsweise Ionisation des Targets.
351       Die elektronische Bremskraft ist abh"angig von der Energie der Ionen.
352       Verschiedene Theorien beschreiben die Abbremsung unterschiedlich schneller Ionen.
353       Da in dieser Arbeit nur niedrige Projektilenergien (kleiner $0,1 Mev/amu$) behandelt werden, sollen Theorien f"ur den Hochenergiebereich hier nicht diskutiert werden.
354       F"ur hohe, nichtrelativistische Energien (kleiner $10 Mev/amu$) m"usste die Bethe-Bloch-Gleichung \cite{bethe_bloch} zur Beschreibung des elektronischen Energieverlustes herangezogen werden.
355       Zus"atzliche relativistische Effekte f"uhren zu einem Anstieg der Bremskraft bei noch h"oheren Energien.
356
357       F"ur niedrige Teilchengeschwindigkeiten kann die elektronische Abbremsung mit Hilfe der LSS-Theorie \cite{lss} beschrieben werden.
358       Die Bremskraft ist proportional zur Geschwindigkeit, also proportional zur Wurzel aus der Energie des Ions.
359       \begin{equation}
360       S_e(E) = k_L \sqrt{E}
361       \label{eq:el_sp}
362       \end{equation}
363       Die Proportionalit"atskonstante $k_L$ ist ein geschwindigkeitsunabh"angiger Ausdruck und beinhaltet die Abh"angigkeit der Bremskraft von der Kernladungszahl des Ions und des Targetatoms.
364       Schaleneffekte und damit verbundene Oszillationen in der Abh"angigkeit der Kernladungszahl k"onnen durch einen weiteren Faktor $k_F$, den LSS-Korrekturfaktor, der durch experimentelle Ergebnisse angepasst wurde, ber"ucksichtigt werden.
365       In \cite{ziegler_biersack_littmark} wird die ZBL-Theorie vorgestellt, die auch die Oszillationen erkl"art.
366       Dabei werden alle Bremskr"afte auf experimentell genau bekannte Wasserstoff-Bremskr"afte f"ur jedes Element zur"uckgef"uhrt.
367       Die Wasserstoff-Bremskr"afte werden mittels der Brandt-Kitagawa-Theorie f"ur schwere Ionen im gleichen Target skaliert.
368
369     \subsection{Implantationsprofil}
370
371     Mit den im letzten Abschnitt bestimmten Bremsquerschnitten $S_n$ und $S_e$ kann nun mittels \eqref{eq:range} die mittlere Reichweite $R$ der Ionen angegeben werden.
372     Diese ist allerdings ungleich der mittleren Tiefe, in der das Ion zur Ruhe kommt, da das implantierte Ion seine Richtung nach jedem Sto"s ver"andern wird.
373     Die so erhaltene projezierte Reichweite $R_p$ und deren Standardabweichung $\Delta R_p$ k"onnen durch L"osung von Integro-Differentialgleichungen \cite{lss_2} berechnet werden.
374
375     Weiterhin wird in \cite{lss_2} vorgeschlagen, das Konzentrationsprofil durch eine Gau"sverteilung anzun"ahern.
376     \begin{equation}
377     N(x) = \frac{D}{\sqrt{2 \pi \Delta R_p}} \exp \Big[ - \frac{(x - R_p)}{2 \Delta R_p^2}  \Big] \textrm{,} \qquad D: \textrm{ Dosis}
378     \end{equation}
379
380     \subsection{Die Monte-Carlo-Simulation {\em TRIM}}
381
382     Mit Hilfe der Monte-Carlo-Simulation {\em TRIM} \cite{ziegler_biersack_littmark,biersack_haggmark} (kurz f"ur {\bf TR}ansport of {\bf I}ons in {\bf M}atter) k"onnen die tiefenabh"angigen Bremskr"afte und die Reichweitenverteilung simuliert werden.
383     Da in dieser Arbeit von {\em TRIM} simulierte nukleare Bremskraftprofile, Reichweitenverteilungen und Informationen aus den protokollierten Kollisionen verwendet werden, soll hier grob auf den Ablauf des Programms eingegangen werden.
384
385     Das Programm folgt den Bahnen einer gro"sen Anzahl von Teilchen, die in das Target implantiert werden.
386     Jedes Ion startet mit einer gegebenen Energie, Position und Richtung.
387     Die Teilchen vollziehen Richtungs"anderungen auf Grund von Kernst"o"sen mit den Atomen des Targets.
388     Zwischen zwei Kollisionen bewegt sich das Ion geradlinig innerhalb einer freien Wegl"ange.
389     Durch die nukleare und elektronische Bremskraft verliert das Teilchen Energie.
390     Die Verfolgung der Teilchenbahn terminiert, wenn die Energie unter einen bestimmten Wert abgefallen, oder das Teilchen das Target verlassen hat.
391     Das Target wird als amorph angenommen, weshalb kristalline Richtungseigenschaften, wie zum Beispiel das sogenannte Channeling, ignoriert werden.
392     Der nukleare und elektronische Energieverlust werden unabh"angig voneinander behandelt.
393     Das Teilchen verliert neben den kontinuierlichen Energieverlust auf Grund der elektronischen Bremskraft einen diskreten Betrag der Energie durch Kernst"o"se.
394    
395     Das einfallende Teilchen startet mit der Anfangsenergie $E = E_0$ an der Oberfl"ache des Targets.
396     Drei Zufallszahlen $R_1$, $R_2$ und $R_3$ werden auf die physikalischen Gr"o"sen freie Wegl"ange $l$, Sto"sparamter $p$ und den Azimutwinkel $\Phi$ abgebildet.
397
398     Es gibt Ans"atze die freie Wegl"ange zuf"allig zu bestimmen.
399     F"ur niedrige Ionenenergien (kleiner $0,1 Mev/amu$) reicht es jedoch den amorphen Festk"orper durch eine feste freie Wegl"ange $l$ zu modellieren.
400     Diese ist gegeben durch den mittleren Abstand der Targetatome.
401     \begin{equation}
402     l = N^{- \frac{1}{3}}
403     \end{equation}
404     F"ur gr"o"sere Energien muss der M"oglichkeit gr"o"serer freier Wegl"angen Rechnung getragen werden und eine entsprechende Abbildung von $R_1$ auf $l$ ist n"otig \cite{ziegler_biersack_littmark}.
405
406     Danach wird der Sto"sparameter durch
407     \begin{equation}
408     p = p_{max} R_2
409     \end{equation}
410     bestimmt.
411     Dabei gilt f"ur das Maximum $p_{max}$ des Sto"sparameters: $\pi p^2_{max} l = N^{-1}$.
412
413     Der Azimutwinkel $\Phi$ ist statistisch isotrop verteilt.
414     \begin{equation}
415     \Phi = 2 \pi R_3
416     \end{equation}
417
418     Mit Hilfe der von Biersack entwickelten \dq magic formula\dq{} \cite{ziegler_biersack_littmark} kann aus dem Sto"ssparamter $p$ analytisch der Streuwinkel $\Theta$ errechnet werden.
419     Mit Hilfe des Ablenkwinkels wird dann durch \eqref{eq:final_delta_e} der Energie"ubertrag $\Delta E$ bestimmt.
420     Der elektronische Energieverlust ergibt sich aus dem Produkt der freien Wegl"ange $l$ mit dem Ausdruck f"ur die elektronische Bremskraft $S_e(E)$ aus \eqref{eq:el_sp} und der atomaren Dichte $N$.
421     Durch die freie Wegl"ange und den Ablenk- und Azimutwinkel ist der Ort des n"achsten Sto"sprozesses festgelegt.
422     Die Koordinaten und der Energie"ubertrag jedes Sto"ses werden protokolliert, womit die nukleare und elektronische Bremskraft bestimmt ist.
423     Die Koordinaten der Ionen, die unter einen bestimmten Energiebetrag abgefallen sind, werden ebenfalls durch das Programm festgehalten.
424     Damit ist das Implantationsprofil gegeben.
425
426     \subsection{Strahlensch"aden und Amorphisierung}
427
428     Durch die Bestrahlung des Targets werden Sch"aden im Kristallgitter hervorgerufen.
429     Dabei werden Targetatome durch St"o"se mit Ionen verlagert, oder durch St"o"se durch bereits angesto"sene Atome, sogenannten Recoils, wenn diese mindestens die Verlagerungsenergie $E_d$ besitzen.
430     Im letzten Fall spricht man auch von Verlagerungskaskaden.
431     So entstehen Leerstellen und Zwischengitteratome, sogenannte Frenkeldefekte, und komplexere Gitterdefekte, sogenannte Cluster.
432     Mit steigender Dosis beginnen gest"orte Gebiete zu "uberlappen was zu einer Ausbildung einer amorphen Schicht f"uhren kann.
433     Die Anzahl und Verteilung der Strahlensch"aden h"angt dabei von Temperatur, Energie und Masse der implantierten Ionen sowie der Masse der Targetatome ab.
434     Die in einem prim"aren Sto"s verlagerten Atome, durch ein Ion der Energie $E$, kann nach Kinchin Pease \cite{kinchin_pease} zu
435     \begin{equation}
436     N_{p,d} = \frac{E}{E_d}
437     \end{equation}
438     abgesch"atzt werden.
439
440     Gleichzeitig heilen Defekte aus, indem verlagerte Gitteratome an ihren Gitterplatz zur"uckkehren.
441     Bei der thermischen Defektausheilung wird dies durch die thermisch erh"ohte Mobilit"at der Defekte erm"oglicht.
442     Andererseits kann der Ionenstrahl selbst zur Defektausheilung beitragen.
443     Dieser kann an amorph-kristallinen Grenzfl"achen Rekristallisation beg"unstigen \cite{jackson} oder auch zur Bildung von Kristallisationskeimen in amorphen Gebieten f"uhren \cite{spinella}.
444     Man spricht von ionenstrahlinduzierter Defektausheilung beziehungsweise Rekristallisation (IBIC, kurz f"ur: Ion Beam Induced Crystallization).
445
446     Im Folgenden sollen einige Strahlensch"adigungsmodelle zur Absch"atzung der Amorphisierung abh"angig von der implantierten Dosis vorgestellt werden.
447
448     \subsubsection{Modell der kritischen Energiedichte}
449
450     Bei niedrigen Implantationstemperaturen, typischerweise kleiner $85 K$, kommt es beim Erreichen einer kritischen Energiedichte $e_c$ f"ur die in einem nuklearen Sto"s deponierte Energie in Silizium zur Amorphisierung \cite{vook}.
451     In diesem Fall ergibt sich die Amorphisierungsdosis $D_0$ aus der nuklearen Bremskraft $S_n$ zu:
452
453     \begin{equation}
454     D_0 = \frac{e_c}{S_n} \quad \textrm{.}
455     \end{equation}
456
457     \subsubsection{Amorphisierungsmodell nach Morehead und Crowder}
458
459     Bei hohen Temperaturen finden Ausheilvorg"ange statt, was eine Erh"ohung der Amorphisierungsdosis zur Folge hat.
460     Das Amorphisierungsmodell nach Morehead und Crowder \cite{morehead_crowder} geht von einer erh"ohten Konzentration an Leerstellen im Zentrum und einer erh"ohten Konzentration an Zwischengitteratomen im Randbereich einer Sto"skaskade aus.
461     W"ahrend der Abklingzeit der Sto"skaskade ($\sim 10^{-9} s$) k"onnen Leerstellen durch thermische Diffusion aus dem Zentrum der Sto"skaskade hearsuwandern und mit Zwischengitteratomen rekombinieren.
462     Dies hat eine Verkleinerung des zentralen, amorph werdenden Volumens zur Folge.
463     Der Vorgang ist abh"angig von der Implantationstemperatur, welche die Diffusionsl"ange der Leerstellen bestimmt und der nuklearen Bremskraft, die das direkte Sch"adigungsvolumen festlegt.
464     Die Amorphisierungsdosis lautet somit
465
466     \begin{equation}
467     D(T) = D_0 \Big[ 1 - C \, exp\Big( - \frac{E_{diff}}{2 k_B T} \Big) \Big] \quad \textrm{,}
468     \end{equation}
469     wobei $D_0 = \frac{E_d n}{S_n}$ die Amorphisierungsdosis f"ur $T \rightarrow 0 K$, $C = const. \, S_n^{-\frac{1}{2}}$, $E_{diff}$ die Aktivierungsenergie f"ur Leerstellendiffusion, $E_d$ die Atomverlagerungsenergie und $n$ die atomare Dichte ist.
470     
471     \subsubsection{Das "Uberlappungsmodell}
472
473     Nach dem "Uberlappungsmodell nach Gibbons \cite{gibbons} hinterl"asst jedes Ion ein zylinderf"ormiges, defektreiches Volumen mit der Grundfl"ache $A_i$.
474     Amorphisierung tritt ein, wenn $m$ Ionen den selben Bereich gesch"adigt haben, also nach $m-1$-facher "Uberlappung. 
475     Der "Uberlappungsparameter $m$ ist im wesentlichen abh"angig von der Ionenmasse.
476     Das Verh"altnis des amorphen Fl"achenanteils $A_a$ zur gesamt bestrahlten Fl"ache $A_0$ nach einer Dosis $D$ ergibst sich zu:
477     \begin{equation}
478     \frac{A_a}{A_0} = 1 - \Big[ \sum^{m-1}_{k=0} \frac{A_i D}{k!} \, exp(A_i D) \Big] \quad \textrm{.}
479     \end{equation}
480
481     Dennis und Hale \cite{dennis_hale} erreichten nach diesem Modell f"ur Argon- und Kryptonionen in Silizium die beste "Ubereinstimmung mit experimentell bestimmten Sch"adigungsdaten f"ur $m=2$ und $m=3$.
482     Dies deutet darauf hin, dass selbst bei schweren Ionen ausschliesslich direkte Amorphisierung ($m=1$) unwahrscheinlich ist.
483     Bei niedrigen Dosen zeigt sich auf Grund der direkten Amorphisierung ein linearer Zusammenhang zwischen dem amorphen Fl"achenanteil und der Dosis.
484     Der lineare Verlauf geht mit steigender Dosis mit der Bildung amorpher Gebiete durch "Uberlappung in einen maximal quadratischen Anstieg "uber.
485     Der Verlauf s"attigt schliesslich auf Grund der Abnahme ungesch"adigter und kristallin gesch"adigter Fl"achenanteile.
486
487     \subsubsection{Strahlensch"adigungsmodell nach Hecking}
488
489     Da das "Uberlappungsmodell keine temperaturabh"angigen Ausheilmechanismen ber"ucksichtigt und somit lediglich f"ur tiefe Temperaturen geeignet ist wurde von Hecking \cite{hecking1,hecking2} ein neues Defekterzeugungs- und Defektwechselwirkungsmodell entwickelt.
490     Ein eingeschossenes Ion "ubertr"agt seine Energie in Einzelst"o"sen auf die Targetatome, die ihrerseits weitere Targetatome ansto"sen und so eine Sto"skaskade bilden.
491     Ist die Energie aller verlagerten Atome unter die Energie abgesunken welche zur weiteren Verlagerung von Atomen n"otig ist, hat sich die kinetische Energie des einfallenden Ions in Schwingungsenergie der im Kaskadenvolumen enthaltenen Atome umgewandelt.
492     Dieses r"aumlich begrenzten Gebiet sehr hoher Energiedichte, in dem die kollektiv angeregten Atome einen quasi fl"ussigen Zustand bilden, nennt man einen Energiespike.
493     Die thermische Relaxation dieses Spikes kann als W"armediffusionsprozess beschrieben werden.
494     Erreicht die Kristallisationsfront den Kaskadenkern bevor die Kristallisationstemperatur unterschritten wird, kann der Spike vollst"andig rekristallisieren.
495     Dies ist bei hohen Targettemperaturen der Fall, wenn den Leerstellen und Zwischengitteratomen auf Grund der langsamen Abk"uhlung genug Zeit zur Rekombination bleibt.
496     Bei kleinen Temperaturen und einer darausfolgenden schnellen W"armediffusion kann wegen unvollst"andiger Rekristallisation ein amorpher Kaskadenkern zur"uckbleiben.
497     Die Wahrscheinlichkeit f"ur die Bildung amorpher Volumina steigt mit fallender Temperatur.
498     Neben der Implantationstemperatur h"angt der Defektzustand entscheidend von der Kaskadengeometrie und dem Sch"adigungszustand der Kaskadenumgebung ab.
499     Ein hoher Sch"adigungsgrad einer Kaskadenumgebung erschwert die epitaktische Rekristallisation.
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