3 \section{Monte-Carlo-Simulation}
5 Monte-Carlo-Simulationen sind Computer-Experimente zur Untersuchung interessierender Sachverhalte, die auf stochastischen Simulationsalgorithemn basieren.
6 Dabei werden vom Computer generierte Pseudozufallszahlen auf physikalische Gr"o"sen abgebildet.
7 Den Ausgangspunkt bilden dabei sogenannte Standard-Pseudozufallszahlen, die auf einem vorgegebenen Intervall gleichverteilt sind.
8 Hiervon ausgehend k"onnen beliebige Verteilungen durch Transformationen und Verwerfungsmethoden erzeugt werden.
10 \subsection{Erzeugung gleichverteilter Pseudozufallszahlen}
12 Die h"aufigste Methode zur Erzeugung von Zufallszahlen ist die lineare Kongruenzmethode, welche eine Sequenz von ganzen Zahlen $I_1, I_2, I_3,$ \ldots aus dem Intervall $I = [0,m-1]$ generiert.
13 Dabei gilt folgende Vorschrift:
14 \begin{equation} \label{eq:kon_m}
15 I_{j+1} = ( a I_{j} + c ) \, mod \, m
17 \[ m: \textrm{Modulus, } a: \textrm{Multiplikator, } c: \textrm{Inkrement, } I_0: \textrm{Startwert} \]
18 Die Zufallszahlen k"onnen sich mit einer Periode, die offensichtlich nicht gr"o"ser als $m$ ist, wiederholen.
19 Die Qualit"at der Zufallszahlen h"angt dabei sehr stark von der Wahl der Konstanten $a, c, m, I_0$ ab.
20 Leider gibt es keine einfache mathematische Methode zur Ermittlung optimaler Konstanten.
21 Nach Park und Miller \cite{park_miller_zufall} erf"ullt man mit
22 \begin{equation} \label{eq:kon_v}
23 a = 7^5 = 16807, \quad m = 2^{31} - 1 = 2147483647, \quad c = 0
25 einen minimalen Standard was die Qulit"at der Zufallszahlen angeht.
26 Diese Wahl der Konstanten wird in vielen Zufallsfunktionen der Standardbibliotheken verwendet.
28 \subsection{Transformation auf spezielle Zufallsverteilungen}
30 Die mit \eqref{eq:kon_m} und \eqref{eq:kon_v} erzeugten Pseudozufallszahlen $I_j$ sind gleichverteilt im Intervall $[0,m-1]$.
31 Durch Division der Zufallszahlen mit dem Modulus $m$ erh"alt man gleichverteilte Zufallszahlen $x_j$ im Intervall $[0,1[$, so dass die Wahrscheinlichkeit eine Zahl zwischen $x$ und $x + dx$ zu erhalten durch
39 gegeben ist. Ausserdem ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung normiert.
41 \int_{- \infty}^{+ \infty}p(x)dx = \int_{0}^{1}p(x)dx = 1
43 Diese dienen als Basis f"ur beliebige Verteilungen.
44 Einige in dieser Arbeit ben"otigte Transformationen sollen im Folgenden diskutiert werden.
46 \subsubsection{Zufallszahlen mit gleichverteilter Wahrscheinlichkeit}
48 Gleichverteilte Zufallszahlen $z_j$ in einem Intervall $[0,M[$ erh"alt man denkbar einfach durch skalieren der $x_j$ mit $M$.
50 z_j = M x_j = M \frac{I_j}{m}
53 \subsubsection{Zufallszahlen mit linear steigender Wahrscheinlichkeit}
55 Zufallszahlen deren Wahrscheinlichkeit mit ihrem Wert im Intervall $[0,Z[$ linear ansteigen
59 az + b & 0 \leq z < Z \\
63 realisiert man durch folgende Transformation:
65 p(z)dz & = & p(x)dx \nonumber \\
66 \frac{dx}{dz} & = & p(z) \nonumber \\
67 x & = & \int_{- \infty}^z p(z')dz' = \int_0^z (az' + b) dz' = \frac{1}{2} az^2 + bz \label{eq:trafo}
69 Durch Aufl"osen von \eqref{eq:trafo} nach $z$ und Ausschluss der negativen L"osung erh"alt man:
71 z = \frac{-b + \sqrt{b^2 + 2 a x}}{a} \quad \textrm{.}
73 So erh"alt man Zufallszahlen $z_j$ im Intervall $[0,1[$ durch $x_j \in [0,b+\frac{a}{2}[$.
74 Sollen Zufallszahlen im Intervall $[0,Z[$ liegen, m"ussen sie durch
76 z_j = Z \frac{-b + \sqrt{b^2 + 2 a (b+\frac{a}{2}) \frac{I_j}{m}}}{a}
80 \subsubsection{Verwerfungsmethode zur Erzeugung beliebiger Verteilungen}
82 Mit Hilfe der Verwerfungsmethode k"onnen Zufallszahlen mit beliebiger Wahrscheinlichkeitsverteilung $p(x)$ generiert werden.
83 Sie basiert auf einer einfachen geometrischen "Uberlegung (Abbildung \ref{img:rej_meth}).
84 Die Verteilung $p(x)$ sei im Intervall $[a,b]$ mit $p(x) \geq 0 \quad \forall x \in [a,b]$ gegeben.
85 Das Maximum von $p(x)$ sei $p_m$.
86 Die Erzeugung der Zufallszahlen funktioniert nun wie folgt:
88 \item Ausw"urfeln zweier gleichverteilter Zufallszahlen $x \in [a,b]$ und $y \in [0,p_m]$.
89 \item Ist $y \leq p(x)$, so ist $x$ die n"achste Zufallszahl, ansonsten zur"uck zu 1.
93 \includegraphics[width=10cm]{rej_meth.eps}
94 \caption{Beliebige Wahrscheinlichkeitsverteilung $p(x)$ im Intervall $[a,b]$ mit Maximum $p_m$}
98 Diese Methode ist zwar sehr einfach, jedoch wird sie um so ineffizienter, je groesser die Fl"ache der Vergleichsfunktion (hier: $f(x) = p_m$) im Vergleich zu $p(x)$ zwischen $a$ und $b$ wird.
99 Deshalb macht es Sinn die Funktion $f(x)$ "ahnlich der Funktion $p(x)$ mit $f(x) \geq p(x); \, x \in [a,b]$ zu w"ahlen.
100 Das unbestimmte Integral $F(x) = \int f(x) dx$ muss dabei bekannt und invertierbar sein.
101 Dann kann wie in \eqref{eq:trafo} die Transformation durchgef"uhrt werden.
102 Die Werte f"ur $x$ werden nun nach der Transformationsmethode im Intervall $[a,b]$ gew"ahlt, die Werte f"ur $y$ m"ussen gleichverteilt im Intervall $[0,f(x)]$ sein.
104 \section{Ion-Festk"orper Wechselwirkung}
106 Zur theoretischen Beschreibung der Ionenimplantation mu"s die Wechselwirkung der Ionen mit dem Target betrachtet werden.
107 Durch St"o"se mit den Kernen und Elektronen des Targets werden die Ionen im Festk"orper abgebremst, ein entsprechendes Implantationsprofil stellt sich ein.
108 Weitere Folgen sind die durch Bestrahlung im Kristallgitter entstehenden Sch"aden.
109 Im Folgenden wird darauf genauer eingegangen.
111 \subsection{Abbremsung von Ionen}
113 Die in den Festk"orper implantierten Ionen sto"sen mit den Atomkernen und Elektronen des Targets.
114 Dieser Streuprozess ist mit einem Energieverlust und einer Richtungs"anderung des Ions verbunden.
115 Das Ion f"uhrt weitere St"o"se aus bis dessen Energie zu klein f"ur weitere Sto"sprozesse ist.
116 Die Abbremsung der Ionen durch St"o"se mit den Atomkernen bezeichnet man als nukleare Bremskraft, die mit den Elektronen als elektronische Bremskraft.
118 \subsubsection{Bremsquerschnitt}
120 Um die Abbremsung der Ionen durch elektronische und nukleare Streuung zu beschreiben, definiert man den sogenannten Bremsquerschnitt.
122 S_{e,n} = - \frac{1}{N} \Big( \frac{\partial E}{\partial x} \Big)_{e,n}
124 Dieser ist proportional zur Bremskraft $\frac{\partial E}{\partial x}$, welche angibt, wieviel Energie $E$ des Ions pro zur"uckgelegter Wegl"ange $x$ abgegeben wird.
125 $N$ ist die atomare Dichte des Festk"orpers.
126 Zerlegt man nun die Energieverlustrate in einen nuklearen und einen elektronischen Anteil so erh"alt man f"ur den Energieverlust pro Wegl"ange:
128 - \frac{\partial E}{\partial x} = N \Big( S_e(E) + S_n(E) \Big) \quad \textrm{.}
130 Durch Kehrwertbildung und Integration "uber die Energie erh"alt man die mittlere Reichweite $R$ des Ions.
131 Sei dessen Anfangsenergie $E_0$, so gilt:
133 R = \frac{1}{N} \int_0^{E_0} \frac{d E}{S_e(E) + S_n(E)} \quad \textrm{.}
135 Um die Reichweite des Ions berechnen zu k"onnen, m"ussen noch der nukleare ($S_n$) und elektronische ($S_e$) Bremsquerschnitt bestimmt werden.
137 \subsubsection{Nukleare Bremskraft}
139 Zur Beschreibung der nuklearen Bremskraft muss der Energie"ubertrag zwischen einem bewegten und einem station"aren geladenen Teilchen betrachtet werden.
140 Dieser h"angt ab von Geschwindigkeit und Richtung des bewegten Teilchens, sowie von Masse und Ladung beider Teilchen und damit einem interatomaren Potential.
141 Die letztendlichen Geschwindigkeiten und Trajektoren k"onnen mit Hilfe der Energie- und Impulserhaltung f"ur einfache Potentiale analytisch gel"ost werden.
142 Es werden nur elastische St"o"se betrachtet, inelatische St"o"se mit den Atomkernen k"onnen vernachl"assigt werden.
143 Da die nukleare Bremskraft sehr wichtig f"ur die weitere Arbeit ist, wird auf ihre Herleitung etwas genauer eingegangen.
145 Zun"achst soll die klassische elastische Streuung zweier K"orper behandelt werden.
146 Dabei ist das ruhende Teilchen der Atomkern, das einfallende Teilchen das implantierte Ion (Abbildung \ref{img:scatter_lc}).
147 Aus der Energieerhaltung folgt:
149 \frac{1}{2} M_1 v_0^2 = \frac{1}{2} M_1 v_1^2 + \frac{1}{2} M_2 v_2^2
151 Dabei ist $v_0$ die anf"angliche Geschwindigkeit des Ions der Masse $M_1$, $v_1$ die Geschwindigkeit des Ions nach dem Sto"s und $v_2$ die Geschwindigkeit des gestossenen Atomkerns mit Masse $M_2$.
152 Aus der Impulserhaltung folgt,
154 \textrm{Longitudinal: } & M_1 v_0 = M_1 v_1 cos(\theta) + M_2 v_2 cos(\phi) \\
155 \textrm{Lateral: } & 0 = M_1 v_1 sin(\theta) + M_2 v_2 sin(\phi)
157 wobei $\theta$ der Winkel der Ablenkung des Ions und $\phi$ der Winkel der Ablenkung des Atomkerns ist.
160 \includegraphics[width=10cm]{scatter_lc.eps}
161 \caption{Elastischer Sto"s zweier K"orper im Laborsystem}
162 \label{img:scatter_lc}
166 Mit Hilfe der Transformation ins Schwerpunktsystem kann gezeigt werden, dass die Relativbewegung des Ions und des Atomkerns auf ein Einzelnes im Zentralfeld bewegtes Teilchen reduziert werden kann, wenn nur Kr"afte zwischen den beiden Teilchen wirken.
169 \includegraphics[width=10cm]{scatter_cm2.eps}
170 \caption{Elastischer Sto"s zweier K"orper im Schwerpunktsystem}
171 \label{img:scatter_cm}
174 Im Schwerpunktsystem gilt (Abbildung \ref{img:scatter_cm}):
176 M_1 v_0 = ( M_1 + M_2 ) v_c \quad \textrm{,}
177 \label{eq:imp_cons_cm}
179 wobei $v_c$ die Schwerpunktgeschwindigkeit ist, so dass der Gesamtimpuls des Systems Null ist.
180 Mit der Definition der reduzierten Masse $M_c$
182 \frac{1}{M_c} = \frac{1}{M_1} + \frac{1}{M_2} \quad \textrm{,}
186 M_c = \frac{M_1 M_2}{M_1 + M_2} \quad \textrm{,}
189 erh"alt man f"ur die Schwerpunktsbewegung aus \eqref{eq:imp_cons_cm} den Ausdruck
191 v_c = \frac{v_0 M_c}{M_2} \quad \textrm{.}
194 Weiterhin erkennt man, dass die Teilchengeschwindigkeiten umgekehrt proportional zu ihren Massen und unabh"angig vom Streuwinkel sind:
196 \frac{v_0 - v_c}{v_c} = \frac{M_2}{M_1} \quad \textrm{.}
199 Durch eine einfache geometrische "Uberlegung und der Bedingung, dass der Gesamtimpuls im Schwerpunktsystem Null ist, erh"alt man folgenden Zusammenhang der Ablenkwinkel des Targetatoms im Schwerpunkt- und Laborsystem (Abbildung \ref{img:angle_conv}):
201 \Phi = 2 \phi \quad \textrm{.}
202 \label{eq:angle_conv}
206 \includegraphics[width=10cm]{angle_conv.eps}
207 \caption{Zusammenhang der Ablenkwinkel des Targetatoms im Schwerpunktsystem (blau) und im Laborsystem (rot)}
208 \label{img:angle_conv}
211 F"ur die auf das Targetatom "ubertragene Energie gilt:
213 T = \frac{1}{2} M_2 v_2^2 \quad \textrm{.}
215 Mit $v_2 = 2 v_c cos(\phi)$ und \eqref{eq:v_sp} erh"alt man:
217 T = \frac{1}{2} M_2 \Big( \frac{2 v_0 M_c cos(\phi)}{M_2} \Big)^2 = \frac{2}{M_2} \Big( v_0 M_c cos(\phi) \Big)^2 \quad \textrm{.}
220 Die anf"angliche Energie des Systems $E$ ist festgelegt durch $E = \frac{1}{2} M_1 v_0^2$.
221 Aus Abbildung \ref{img:scatter_cm} erkennt man, dass $\Phi = \pi - \Theta$ ist und mit \eqref{eq:angle_conv} und einsetzen von \eqref{eq:m_red} f"ur die reduzierte Masse in \eqref{eq:delta_e} bekommt man folgenden Ausdruck f"ur den Energie"ubertrag:
223 T = \frac{2}{M_2} v_0^2 \frac{M_1^2 M_2^2}{(M_1 + M_2)^2} sin^2 \Big( \frac{\Theta}{2} \Big) = E \frac{4 M_1 M_2}{(M_1 + M_2)^2} sin^2 \Big( \frac{\Theta}{2} \Big) \quad \textrm{.}
224 \label{eq:final_delta_e}
226 Die maximal "ubertragene Energie erh"alt man f"ur den zentralen Sto"s mit $\Theta = \pi$, also f"ur $\Phi = 2\phi = 0$:
228 T_{max} = E \frac{4 M_1 M_2}{(M_1 + M_2)^2} \quad \textrm{.}
229 \label{eq:delta_e_max}
232 Bis jetzt ist also der Energieverlust des Ions in einem elastischen Streuvorgang abh"angig vom Winkel bekannt.
233 Mit der Wahrscheinlichkeit f"ur den Streuvorgang zu jedem Winkel kann der durchschnittliche Energie"ubertrag berechnet werden.
234 Mit der Annahme, dass Kr"afte zwischen den Teilchen nur entlang ihrer Verbindungsachse wirken und der Gesamtimpuls des Systems Null ist, verlaufen die zwei Teilchenbahnen symmetrisch zueinander. Daher reicht die Bestimmung einer einzelnen Teilchenbahn.
235 Das Zweik"orperproblem kann so auf die Wechselwirkung eines Teilchens mit der reduzierten Masse $M_c$ und der Geschwindigkeit $v_c$ in einem statischen Zentralfeld um den Ursprung des Schwerpunktsystems reduziert werden.
236 Die Bewegung im Zentralfeld kann mit Hilfe der Lagrange Gleichung gel"ost werden.
238 \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \stackrel{.}{q_i}} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0 \quad \textrm{mit} \quad L = \frac{M_c}{2}(\stackrel{.}{r^2} + r^2 \stackrel{.}{\Theta}) - V(r) \quad \textrm{.}
240 Wegen $\frac{\partial L}{\partial \Theta} = 0$ ist $\Theta$ zyklisch. Daraus folgt die Drehimpulserhaltung
242 \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \stackrel{.}{\Theta}} = \frac{d}{dt}(M_c r^2 \stackrel{.}{\Theta}) = 0 \quad \Rightarrow \quad l := M_c r^2 \stackrel{.}{\Theta} = const.
243 \label{eq:ang_mom_exp}
245 F"ur den Drehimpuls (im Unendlichen) gilt:
247 l = M_c v_c p \quad \textrm{.}
248 \label{eq:ang_mom_val}
250 L"ost man die Gleichung f"ur die Energie $E$ des Systems
252 E = \frac{M_c}{2} (\stackrel{.}{r^2} + r^2 \stackrel{.}{\Theta^2}) + V(r)
254 nach $\stackrel{.}{r}$ auf,
256 \stackrel{.}{r} = \frac{dr}{dt} = \sqrt{ \frac{2}{M_c} (E - V(r)) - \frac{l^2}{M_c^2 r^2} }
258 und diese Gleichung wiederrum nach $dt$,
260 dt = \frac{dr}{\sqrt{ \frac{2}{M_c} (E - V(r)) - \frac{l^2}{M_c^2 r^2} }}
262 kann man aus \eqref{eq:ang_mom_exp} durch Integration vom Unendlichen bis zum minimalen Abstand des Teilchens $r_0$ vom Streuzentrum den Winkel $\Theta$ abh"angig vom Potential, dem Sto"sparameter und der Energie des Teilchens darstellen.
264 \frac{\Theta}{2} = \frac{l}{M_c r^2} \int_{r_0}^{\infty} \frac{dr}{\sqrt{ \frac{2}{M_c} (E - V(r)) - \frac{l^2}{M_c^2 r^2} }}
266 Durch Einsetzen von \eqref{eq:ang_mom_val} und vereinfachen erh"alt man:
268 \Theta = 2 \int_{r_0}^{\infty} \frac{p dr}{1 - \frac{V(r)}{E} - \frac{p^2}{r^2}} \quad \frac{1}{r^2} \quad \textrm{.}
269 \label{eq:theta_of_p}
271 Mit Hilfe dieser Gleichung kann der Streuwinkel "uber die Schwerpunktsenergie $E$, dem Potential $V(r)$ und dem Stossparameter $p$ bestimmt werden.
272 Der durschnittliche Energie"ubertrag kann nun durch Einsetzen von \eqref{eq:theta_of_p} in \eqref{eq:final_delta_e} und Integration "uber alle $p$ bestimmt werden.
274 F"ur das interatomare Potential $V(r)$ wird oft ein abgeschirmtes Coulomb-Potential verwendet \cite{ziegler_biersack_littmark}.
276 V(r) = \frac{Z_1 Z_2 e^2}{4 \pi \epsilon_0 r} \Phi(\frac{r}{a})
278 Dabei ist $\Phi$ eine geeignete Abschirmfunktion und $a$ der sogenannte Abschirmparameter in der Gr"o"senordnung des Bohrradius.
279 Die besten "Ubereinstimmungen mit dem Experiment erh"alt man durch Verwendung des sogenannten \dq universal potential\dq{} \cite{ziegler_biersack_littmark}, dass von Ziegler et al. mit verbesserten Methoden, unter anderem dem Anfitten von Daten zahlreicher Ion-Target-Kombinationen an die Abschirmfunktion, eingef"uhrt wurde.
281 \subsubsection{Elektronische Bremskraft}
283 Der elektronische Energieverlust der Ionen an den Elektronen des Targets kommt haupts"achlich durch inelastische Streuung zustande.
284 Dies f"uhrt zur Anregung beziehungsweise Ionisation des Targets.
285 Die elektronische Bremskraft ist abh"angig von der Energie der Ionen.
287 F"ur niedrige Teilchengeschwindigkeiten kann die elektronische Abbremsung mit Hilfe der LSS-Theorie \cite{lss} beschrieben werden.
288 Die Bremskraft ist proportional zur Geschwindigkeit, also proportional zur Wurzel aus der Energie des Ions.
290 S_n(E) = k_L \sqrt{E}
292 Die Proportionalit"atskonstante $k_L$ ist ein geschwindigkeitsunabh"angiger Ausdruck und beachtet die Abh"angigkeit der Bremskraft von der Kernladungszahl des Ions und der Targetatome.
294 F"ur hohe, nicht-relativistische Energien eignet sich die Bethe-Bloch-Gleichung zur Beschreibung des elektronischen Energieverlusts.
298 \subsection{Implantationsprofil}
300 \subsection{Die Monte-Carlo-Simulation {\em TRIM}}
302 \subsection{Strahlensch"aden und Amorphisierung}